수소 원자 파동 함수, 그래프(Hydrogen-like atom wave function)

수소 원자 파동 함수 그래프(Hydrogen-like atom wave function)

 

mathematica 연습 겸, 수소 원자의 파동 함수 그래프를 정리해보자.

 

3차원 시스템의 파동함수는 다음과 같이 변수분리형태로 놓을 수 있다..

$$\psi (r,\varphi ,\theta )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\varphi ,\theta )$$

$Y_{lm}$은 구면 조화함수(spherical harmonics)이다. 모든 중심력(central force)가 작용하는 시스템에서 각도 방향 파동함수는 구면 조화함수이다. 

왜냐하면,

중심력이 작용하기 때문에 각도 방향은 슈뢰딩거 방정식의 변화가 없다.

$$R^{″}(r)+\frac{2}{r}{R}^{\prime }(r)+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V_{eff}(r))R(r)=0$$

$$V_{eff}=V(r)+\frac{{\hslash }^{2}l(l+1)}{2\mu r^2}$$

$$\frac{L^2}{{\hslash }^2}{Y}_{lm}=-[\frac{1}{sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}]Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}$$

 

추가로, $R(r)=\frac{u(r)}{r}$ 하면

$$\Rightarrow u^{″}(r)+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V_{eff}(r))u(r)$$

더 간단해진다.

 

최종적으로는 $R(r)$을 구해야 한다.

 

여기서까지는 3차원 문제에서 공통적이다.

 

$$V(r)=\frac{Z{e}^2}{r}$$

해야지, 수소 원자이다. (hydrogen-like atom) 정확히는 원자핵에 양성자가 Z개 있는 원자 모형이다.

 

$r$ 방향의 파동함수는

$Bohrradius=a_0\equiv \frac{{\hslash }^2}{m_e{e}^2}$

$$x\equiv r/a_0$$

 

$$R_{10}\sim e^{-x}$$

$$R_{20}\sim e^{-x/2}(1-\frac{x}{2})$$

$$R_{21}\sim e^{-x/2}x$$

$$R_{30}\sim e^{-x/3}(1-\frac{2x}{3}+\frac{2x^2}{27})$$

$$R_{31}\sim e^{-x/3}(1-\frac{x}{6})$$

$$R_{32}\sim e^{-x/3}{x}^2$$

 

정확히는

$$R_{nl}=e^{-x/n}{x}^l{L}_{n-1-l}^{2l+1}(\frac{2x}{n}),n=1,2,\cdots ,l\le n-1$$

L은 Laguerre function을 뜻함.

 

$R_{nl}$인 전자가 $r$방향에서 발견될 확률 밀도는 다음과 같다.

$$Probabilityatr=|R_{nl}{|}^2{r}^2$$

그래프를 한 번 그려보자. 

 

• $l=0$ 에 대해 비교

 

$l=0$

$l=0$

$r^2{R}_{10}^2$의 max prob.

$r^2{R}_{20}^2$의 max prob.

$r^2{R}_{30}^2$의 max prob.

 

• 같은 $n=2$에 대해 비교.

$n=2$

$r^2{R}_{20}^2$의 max prob.

$r^2{R}_{21}^2$의 max prob.

• 같은 $n=3$에 대해 비교.

$n=3$

$n=3$

 

$r^2{R}_{30}^2$의 max prob.

$r^2{R}_{31}^2$의 max prob.

$r^2{R}_{32}^2$의 max prob.

각도 방향은 나중에 알아본다.