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Your Daily Equation #1 E=mc^2 (브라이언 그린) 본문
Your Daily Equation #1 E=mc^2 (브라이언 그린)
World Science Festival 유튜브 채널의 Your Daily Equation 시리즈를 나름대로 번역 또는 정리를 해보겠다.
이 시리지는 브라이언 그린(Brian Greene)이 진행한다.
영상 출처는 글 하단에 적어놓겠습니다.
Daily equation에 오신 것을 환영합니다.
- 방정식이란 무엇인가?
많은 방정식을 다루기 이전에 방정식이 무엇인가 되짚어보자.
방정식이란:
An equation is a mathematical sentence that written in the language of mathematics with ariculates pattern.
번역 : 방정식은 패턴을 나타내주면서 수학의 언어로 나타낸 문장이다.
즉, 자연이 어떤 패턴을 가지고 있음을 보여준다.
예시) 피타고라스 정리.
평면에있는 직각삼각형에 대해 만족하는 정리이다. 즉, 모든 세상의 모든 직각삼각형들에 대한 패턴을 수학적인 방식으로 표현한 것이다.
- 세상의 패턴들을 방정식으로 발견하는 것인가? 사람의 뇌로 패턴들을 알아내고 나타내어지는 가?
그린의 의견 : 예시로, 수학들은 우리가 그 패턴들을 발견한 것이다.
이제, 방정식을 알았으니 첫 번째 방정식을 알아보자.
$$\text{First equation : } E=mc^2$$
알버트 아인슈타인(Albert Einstein)이 1905년에 출간한 논문에서부터 시작되었다.
1905년 당시 시대상황을 생각해보자.
분야를 막론하고 획기적으로 변화하고 발전하고 있었다.
그리고 아인슈타인은 스위치 Bern에 위치한 특허청에서 근무하고 있었다.
여기서 의아할 수 있다. 왜 아인슈타인이 학계에 있지 않았을까?
학생 아인슈타인은 건방지고 교수에 대한 존경이 없음을 숨기지 않았다.
따라서 많은 교수들이 아인슈타인을 대학원에 진학하는데 추천할 수 없었다.
그런 와중에 특허청으로 취직했다.
이건 어떻게 보면 god-sent, 신의 계시일 수도 있다.
아인슈타인은 일을 하면서 물리 이론과 진짜 세상에 대한 적용에 대해 고민을 하게 된거 같다.
시계를 생각해보자. 특히, 서로 다가오는 기차의 시계침을 동시에 맞추는 것에 관심이 있었다.
그 당시에, 많은 과학자들은 빛의 거동에 대해 연구하고 있었다.
특히 아인슈타인은 빛의 속도에 집중했다.
빛은 어디로 부터 나왔든, 누가 받든 상관 없이 고정된 속도를 지니고 있다.
이는 이상하다.
- 왜 이상하냐?
우선 차의 속도에 대해 이야기해보자.
차 속도는 누구나 알지 않겠나?
속도는 얼마나 빠르게 움직이냐를 보여주는 수치이며, 특히 누구한테 물어보느냐에 따라 다르다.
차가 100km/s로 움직이고 있다면, 가만히 서있는 사람에게 100km/s로 차가 움직이고 있다고 할 것이다.
만약, 운전자에게 물어본다면 세상이 거꾸로 100km/s로 움직인다고 말할 것이다.
그리고, 그 운전자(a)를 바라보고 20km/s로 오는 또 다른 차의 운전자(b)는 (a)가 120 km/s 오는 것으로 보일 것이다.
- 근데 빛의 속도는?
누가 측정하냐, 어디서 나왔냐에 의존하지 않고 항상 고정된 값이다.
그 값은 다음과 같다.
$$c=299,792,458 m/s \approx 3 \times 10^8 m/s$$
속력이 무엇일까?
움직이면서 떨어진 두 지점의 거리를 걸린 시간으로 나눈 것이다.
$$speed=\frac{distance}{time}$$
근데 여기서 speed가 누가 보든 빛은 고정되어있다. 그러면 거리와 시간은 이상하게 작용한다.
이 것이 시공간 개념이다.
1905년에 아인슈타인이 출간한 논문의 논문집이다.
자세히 보면 막스 플랑크 이름이 있는데, 이는 당시에 막스 플랑크가 편집자로 있는 저널이기 때문이다.
이 시공간 개념으로, 움직이는 물체가 시간이 느려지고(time slows down), 길이가 수축하는(length contraction)을 도출할 수 있다.
$$\Delta t=\Delta t_0 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
$$\Delta x=\Delta x_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$
참고로, v는 운동하는 물체의 속도이다.
$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} < 1$$
본 논문에서는 다음과 같이 설명되어 있다.
$$mass=\frac{energy}{c^2}$$
다음과 같이 바꿔보자.
$$E = mc^2$$
- 등식 오른쪽에서 왼쪽으로 넘어가는 것을 설명해보자.
물체가 앞 뒤로 스스로 움직인다면 그 물체가 에너지가 있다고 한다.
고속도로에 차가 달린다면, 그 차는 에너지를 가지고 있다고 한다.
또한, 에너지는 다향한 형태로 존재할 수 있는데, 특히 저장되어 있을 수 있다.
높은 곳에서 물체를 떨어뜨리면 바닥에 떨어질 때 소리가 난다. 이는 중력장에 저장된 중력퍼텐셜에너지가 바닥에 떨어지면 소리에너지로 전환된 것이다.
고무줄을 늘려보라, 그리고 가만히 놓아보라. 그러면 어디론가 튕겨져 날라갈 것이다. 이는 늘리면서 들어간 에너지가 운동에너지로 전환된 것이다.
즉 아인슈타인은 Energy can be stored in mass를 주장했다.
에너지는 질량의 형태로 저장되어 질수 있다.
어떤 물체를 만들어내는 물질의 양이 운동에너지로 바뀔 수 있음에 주목한 것이다.
대부분 핵폭탄, 핵력에 관련에서 쓰이는 것을 알고 있다. 하지만, 그보다 더 큰 범위에서 질량이 에너지로 변환되고 에너지에서 질량으로 변환된다.
숫자의 크기에 집중해보자.
$$c^2 \approx 10^{17} m/s$$
즉, 원리적으로 1kg의 질량은 엄청난 에너지로 전잘된다. 그 변환은 실제로는 엄청 어렵지만 핵반응엔 자주 나타난다.
- 핵반응을 제외하고도 더 광범위한 곳에 적용할 수 있다.
①만약 손전등을 켜본다고 하자.
손전등을 켠 순간부터 빛이 나오면서 에너지가 감소한다.
그리고 감소한 에너지만큼 손전등의 질량이 아주 조금씩 줄어들 것이다.
②가스레인지위에 물이 든 냄비를 올려두고 질량을 측정한다고 하자.
그리고 불을 켜면 어떻게 될까? 불을 키면 이제 물의 질량이 증가할 것이다.
왜냐? 가스레인지가 열에너지를 공급하며, 물은 막 부산해지고 바삐 움직이면서 높은 운동에너지를 갖고,
즉 높아진 질량을 갖는다.
최종적으로, 아인슈타인의 아이디어는
$$\text{Energy is transmuted to the mass}$$
에너지는 질량의 형태로 바뀔수 있음을 뜻한다.
수학적인 유도도 중요하지만, 아이디가 적용되는 물리적 상황을 이야기해보자.
한 입자는 m이고 다른 입자는 2m이다. 만약 두 입자가 부딪혀서 딱 붙었다 해보자.
그러면 질량이 3m이 될 것 같다. (가정 : 아무 에너지 방출이 없다.)
우리는 이전부터 질량은 보존된다고 믿어왔기 때문이다.
여기서 아인슈타인은 보존되지 않는 다고 주장한다.
질량을 제외한 운동에너지가 있었는데, 이 운동에너지는 어디로 간 것인가?
운동에너지는 질량으로 바뀌었다.
혼합된 입자의 질량에 말이다.
따라서, 3m보다 크다.
증가된 질량은 엄청나게 작다.
지속적으로 다른 입자로 충돌시켜 딱 달라붙게한다면, 질량은 계속 증가할 것이다.
유로와 달러를 전환할 수 있는 환율이 있다. 그리고 그 환율에 따라 돈이 달라진다.
하지만, 에너지와 질량의 환율은 동일하다. 그 환율은 \(E=mc^2\)로 항상 같은 패턴이다.
브라이언 그린은 다음과 같이 \(E=mc^2\)을 표현한다.
Beautiful statement of the interchangeability of energy of motion with the material heft
of an object
해석 : 운동에너지와 물체의 이루어진 질량과의 상호 교환성에 대한 아름다운 주장.