Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1

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비제차 선형 연립상미분방정식Ch4.6(Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs)

Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1

 Chapter 5에서는 상미분방정식의 급수해를 다룬다. 급수해는 무한 급수가 해라고 보고, 무한 급수의 계수를 찾아가는 과정이다. 추가로, 특수함수(Special functions)에 대해 다룬다.

 Kreyszig 공업수학 책에서 다루는 특수함수에는 르장드르 함수, 베셀 함수를 다룬다. 르장드르와 베셀 함수는 물리학에 많이 다룬다. 특히, 구면좌표계와 관련 있는 함수가 르장드르 함수이고 베셀 함수는 원통 좌표계와 관련있는 함수이다. 

 물리학 내용으로 보충하자면,  양자역학 3D 문제의 파동함수를 보자. 변수분리를 할 수 있다고 한다면,

$$\psi (r,\theta,\phi)=R_{nl}(r)Y^m_l(\theta,\phi)$$

이것이 해가 되고, \(Y^m_l(\theta,\phi) \propto e^{im\phi} P^m_l(\theta) \)

cf)\(Y^m-l(\theta,\phi) \) : 구면 조화 함수.

여기서 \(P^m_l(\theta) \)가 르장드르 함수이다. 정확히는 associated Legendre function인데 이는 여기서  중요하지 않다.

cf) \( [ \frac{1}{\sin \theta} \partial \theta ( \sin \theta \partial \theta ) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta} ] P^m_l(\cos \theta)=l(l+1)P^m_l(\cos \theta) \).

 

 

다시, 공업수학 내용으로 돌아오자.

$$Ch5.1 \; \text{Power Series Method} $$

 

일반적으로 다음과 같은 급수를 자주 사용한다.

 

멱급수(Power Series):$$ \sum_{m=0}^\infty a_m(x-x_0)^m = a_0 + a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2 + \cdots $$

 

매클로린 급수(Maclaurin Series): x=0에서의 테일러 급수.ex) 기하 급수(geometric series, \( |x|<1\)$$\frac{1}{1-x}= 1+x+x^2+ \cdots $$

 

ex) \(for \; |x|< \infty \)$$e^x=1+x+\frac{x^2 }{2! }+\frac{x^3}{3! }+ \cdots$$$$cosx=1-\frac{x^2}{2! }+\frac{x^4}{4! }-\frac{x^6 }{6! }+ \cdots$$$$sinx=x-\frac{x^3 }{3! }+\frac{x^5 }{5! }-\frac{x^7 }{7! }+ \cdots$$

 

멱급수 해는 다음을 나타낸다.$$y= \sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m = a_0 + a_1 x + a_2 x^2+ a_3 x^3 + \cdots ,|x|<R$$그리고 이계 미분방정식에는 미분꼴도 같이 사용한다. (단, \( |x|<R \) )$$y'= \sum_{m=1}^{\infty} ma_mx^{m-1}=\sum_{m=0}^{\infty}(m+1)a_{m+1}x^m =a_1+2a_2x+3a_3x^2+ \cdots $$$$y''= \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_mx^{m-2}=\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)ㄷ(m+1)a_{m+2}x^m=2a_2+6a_3x+\cdots $$

 

멱급수해법:

다음과 같은 이계 상미분방정식에서

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$\( p(x), q(x) \)가 \( x \) 또는 \( (x-x_o) \)의 급수로 표현이 된다면,멱급수 해를 가정해서 사용할 수 있다.$$y(x) =  \sum_{m=0}^\infty a_mx^m \; or \; y(x) =  \sum_{m=0}^\infty a_m (x-x_0)^m$$

 

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