수소 원자 파동 함수, 그래프(Hydrogen-like atom wave function)

수소 원자 파동 함수 그래프(Hydrogen-like atom wave function)

 

mathematica 연습 겸, 수소 원자의 파동 함수 그래프를 정리해보자.

 

3차원 시스템의 파동함수는 다음과 같이 변수분리형태로 놓을 수 있다..

$$\psi(r,\phi,\theta) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\phi,\theta)$$

\(Y_{lm}\)은 구면 조화함수(spherical harmonics)이다. 모든 중심력(central force)가 작용하는 시스템에서 각도 방향 파동함수는 구면 조화함수이다. 

왜냐하면,

중심력이 작용하기 때문에 각도 방향은 슈뢰딩거 방정식의 변화가 없다.

$$R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)+\frac{2 \mu}{\hbar^2} (E-V_{eff}(r))R(r)=0$$

$$V_{eff}=V(r)+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2 \mu r^2}$$

$$\frac{L^2}{\hbar^2} Y_{lm}=-[\frac{1}{sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} )+ \frac{1}{ sin^2{\theta} } \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}]Y_{lm}=l(l+1)Y_{lm}$$

 

추가로, \(R(r)=\frac{u(r)}{r} \) 하면

$$\Rightarrow u''(r)+\frac{2 \mu}{\hbar^2} (E-V_{eff}(r))u(r)$$

더 간단해진다.

 

최종적으로는 \(R(r)\)을 구해야 한다.

 

여기서까지는 3차원 문제에서 공통적이다.

 

$$V(r)=\frac{Ze^2}{r}$$

해야지, 수소 원자이다. (hydrogen-like atom) 정확히는 원자핵에 양성자가 Z개 있는 원자 모형이다.

 

\(r\) 방향의 파동함수는

\(Bohr \; radius =a_0 \equiv \frac{\hbar^2}{m_e e^2} \)

$$x \equiv r/a_0 $$

 

$$R_{10} \sim e^{-x}$$

$$R_{20} \sim  e^{-x/2}(1-\frac{x}{2})$$

$$R_{21} \sim e^{-x/2}x$$

$$R_{30} \sim e^{-x/3} (1-\frac{2x}{3}+\frac{2x^2}{27} )$$

$$R_{31} \sim e^{-x/3}(1-\frac{x}{6} )$$

$$R_{32} \sim e^{-x/3}x^2$$

 

정확히는

$$R_{nl} = e^{-x/n} x^l L^{2l+1}_{n-1-l}(\frac{2x}{n}),n=1,2, \cdots, l \leq n-1$$

L은 Laguerre function을 뜻함.

 

\(R_{nl}\)인 전자가 \(r\)방향에서 발견될 확률 밀도는 다음과 같다.

$$Probability \; at \; r =|R_{nl}|^2r^2$$

그래프를 한 번 그려보자. 

 

• \(l=0\) 에 대해 비교

 

\(l=0\)

\(l=0\)

\(r^2R_{10}^2\)의 max prob.

\(r^2R_{20}^2\)의 max prob.

\(r^2R_{30}^2\)의 max prob.

 

• 같은 \(n=2\)에 대해 비교.

\(n=2\)

\(r^2R_{20}^2\)의 max prob.

\(r^2R_{21}^2\)의 max prob.

• 같은 \(n=3\)에 대해 비교.

\(n=3\)

\(n=3\)

 

\(r^2R_{30}^2\)의 max prob.

\(r^2R_{31}^2\)의 max prob.

\(r^2R_{32}^2\)의 max prob.

각도 방향은 나중에 알아본다.