연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

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Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

연립상미분방정식을 행렬을 이용해서 해를 찾아간다.
그리고, 연립상미분방정식을 벡터 방정식으로 나타낼 수 있다.

 

행렬을 사용하기 위해선 행렬의 성질과 활용을 알아야한다.

• 행렬의 계산(행렬 덧셈, 행렬 곱)

• 전치행렬(transpose) : A행렬의 transpose=\(A^T\)

• 역행렬(inverse of matrix) : A행렬의 역행렬=\(A^{-1}\)

• 단위행렬(unit matrix) : \(I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\)

• 행렬곱(determinant) : A의 행렬곱=\(|A|\)

• 고유값, 고유벡터(eigenvalue, eigenvector) : \(\mathbf{Ax}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda x_1\\ \lambda x_2\end{bmatrix}=\lambda\mathbf{x}\)

  에서 $$\lambda:eigen-value, \mathbf{x}:eigen-vector$$ 

연립상미분방정식을 벡터방정식으로 나타낼 수 있다(systems of ODEs as vector equation). 즉, 행렬을 벡터로 볼 수 있다.

$$\begin{cases}y_1'=a_{11}y_1+a_{12}y_2 \\ y_2'=a_{21}y_1+a_{22}y_2 \end{cases}$$

$$\mathbf{y'} = \begin{bmatrix}y_1' \\ y_2'\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}=\mathbf{Ay}$$

 

일반적인 방법론도 중요하지만, 바로 예시로부터 연립상미분방정식의 해를 알아보자.

• 1계 상수계수 연립상미분방정식(초기값 문제)

$$\begin{cases}y_1(t)'=-0.02y_1+0.02y_2 \\ y_2(t)'=0.02y_1-0.02y_2 \end{cases} \: \& \: \begin{cases}y_1(0)=0 \\ y_2(0)=150 \end{cases}$$

• Step1  : 벡터방정식 꼴로 바꾸기.

$$\Rightarrow \begin{bmatrix}y_1(t)' \\ y_2(t)'\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}-0.02& 0.02 \\ 0.02& -0.02 \end{bmatrix} 
\cdot \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$$

• Step2 : \(\mathbf{y} \equiv e^{\lambda t}\mathbf{x} \Rightarrow \mathbf{Ax}=\lambda  \mathbf{x} \Rightarrow det(\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0 \)

proof)

$$\mathbf{y'}=\mathbf{Ay} \Rightarrow \lambda e^{\lambda t}\mathbf{x}=e^{\lambda t}\mathbf{Ax}$$

$$\Rightarrow ( \mathbf{Ax} -\lambda  \mathbf{x} ) e^{\lambda t}$$

$$\mathbf{Ax}=\lambda  \mathbf{x}$$

 

문제를 마저 풀면,

$$det(\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} ) =\begin{vmatrix} -0.02-\lambda & 0.02 \\ 0.02 & -0.02-\lambda \end{vmatrix} =0$$

$$\Rightarrow (0.02+\lambda)^2-0.02^2=0$$

$$\lambda_1=0, \mathbf{x}^{(1)}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$\lambda_2=-0.04, \mathbf{x}^{(2)}=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$

일반해:

$$\mathbf{y}=c_1\mathbf{x}^{(1)}e^{\lambda_1 t} +c_2\mathbf{x}^{(2)}e^{\lambda_2 t} $$

$$=c_1 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} e^{-0.04t} $$

 

• Step3 : 초기값 대입.

$$\Rightarrow c_1=75, c_2=-75$$

$$\Rightarrow \mathbf{y}=75 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} -75 \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^{-0.04 t}$$

$$\Rightarrow \begin{cases}y_1=75-75e^{-0.04 t} \\ y_2=75+75e^{0.04 t} \end{cases}$$

 

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