비제차 선형 연립상미분방정식Ch4.6(Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs)

비제차 선형 연립상미분방정식Ch4.6(Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs)

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

이계 상미분방정식에서 비제차 항이 있을 때, 두 가지 방법으로 해를 구했다.

• 1. 세가지 룰.

①Choice rule

②Modification rule

③Sum rule

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Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

• 2. 매개 변수 변환법(variation of parameters)

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Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

 

이와 유사하게 연립상미분방정식에서도 두 가지 방법을 사용한다. 예시와 함께 바로 알아보자.

• 1. 미정계수법. modification rule.

$$ \begin{bmatrix} y_1' \\ y_2' \end{bmatrix}= \mathbf{y'}=\mathbf{Ay}+\mathbf{g}=\begin{bmatrix} -3&1 \\ 1&-3 \end{bmatrix} \mathbf{y} + \begin{bmatrix} -6 \\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t}$$

Let,\(\mathbf{y}=\mathbf{y}^{(h)} +\mathbf{y}^{(p)} \)

 

제차항을 앞선 방법으로 구해보면(고유값 문제), 

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

$$ A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$

$$\Rightarrow \mathbf{y}^{(h)} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} e^{-4t}$$

여기서, modification rule을 사용한다. \( \mathbf{g} \) 해당 하는 항이, \(e^{-2t}\)에 비례하기 때문에,

$$\mathbf{y}^{(p)} \equiv a \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} te^{-2t} +\mathbf{v} e^{-2t}$$

여기서,  고유값 -2에 대한 고유벡터 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)을 유지하면서 t를 곱해서 수정하고 t를 곱하지 않은 항도 추가한다.

\(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \) 이므로,

미분방정식에 \(\mathbf{y}^{(p)} \)을 넣어보면 \(\mathbf{v} \)을 구할 수 있다.

$$\Rightarrow v_2=v_1+4,a=-2 $$

\(v_1\)을 임의로 0으로 놓으면,

$$\Rightarrow \mathbf{y}^{(p)} =-2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix} te^{-2t}+ \begin{bmatrix}  0 \\ 4 \end{bmatrix} e^{-2t} $$

최종해는 제차해+비제차해 이므로,

$$\mathbf{y}=\mathbf{y}^{(h)} + \mathbf{y}^{(p)}$$

\(\Rightarrow \mathbf{y}=c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t} + c_2\begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}e^{-4t} -2\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} te^{-2t}+\begin{bmatrix}  0 \\ 4 \end{bmatrix} e^{-2t}\)

만약 초기값 두 개만 주어진다면 \(c_1,c_2\)을 결정할 수 있다.

 

• 2. 매개변수 변환법(variation of parameters)

1.에서와 같은 문제를 다른 방법으로 풀어보자.

\(\Rightarrow \mathbf{y}^{(h)} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} e^{-4t} = \begin{bmatrix} e^{-2t}&e^{-4t} \\ e^{-2t}& -e^{-4t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \)

$$=\begin{bmatrix} \mathbf{y}^{(1)} & \mathbf{y}^{(2)} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} \equiv \mathbf{Y} \cdot \mathbf{c}$$

※\(\mathbf{Y}\)는 제차 해를 1열, 2열에 배치해서 2행 2열인 행렬이다.

 

여기서, 매겨변수 변환법의 기법을 적용한다. 결국 \( \mathbf{u} \)을 구하기 위함이다.

$$\mathbf{y}^{(p)} (t) \equiv \mathbf{Y(t)} \mathbf{u} (t)$$

이걸 미분방정식에 대입하면( \( \mathbf{y'}=\mathbf{Ay}+\mathbf{g}\) ),

$$\Rightarrow  \mathbf{Y'u}+\mathbf{Yu'}=\mathbf{AYu}+g$$

\( \mathbf{Y}: \text{제차해 } \Rightarrow \mathbf{Y'u}=\mathbf{AYu} \)

두 번째, 세 번째 항이 서로 소거되므로,

$$\mathbf{Yu'}=\mathbf{g}$$

$$\mathbf{u'}=\mathbf{Y^{-1}g} $$

그리고 성분별로 적분하면 \( \mathbf{u(t)} \)을 구할 수 있다.

 

문제로 돌아가서 계산해보면,$$\mathbf{u'}=\mathbf{Y^{-1}g} = \begin{bmatrix} -2 \\ -4e^{2t} \end{bmatrix} $$$$\Rightarrow \mathbf{u(t)} = \int_{0}^{t} \mathbf{Y^{-1}g} ds= \begin{bmatrix} -2t \\ -2e^{-2t}+2 \end{bmatrix} $$\( \mathbf{y}^{(p)}=\mathbf{Yu}=\begin{bmatrix} e^{-2t}&e^{-4t} \\ e^{-2t}& -e^{-4t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2t \\ -2e^{-2t}+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2t-2 \\ -2t+2 \end{bmatrix} e^{-2t} +\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} e^{-4t}=-2 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} te^{-2t} + \begin{bmatrix} -2\\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t} + \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}e^{-4t} \)

 

여기서 이 문제에 대한 테크닉적인 방법인데, 마지막 항은 제차해에 포함되므로 비제차해에서 제외한다. \(\Rightarrow \mathbf{y}=\mathbf{y}^{(h)}+\mathbf{y}^{(p)}=\{ c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{-2t} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} e^{-4t} \} +\{-2 \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} te^{-2t} + \begin{bmatrix} -2\\ 2 \end{bmatrix} e^{-2t} \}  \)

 

 

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Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1