비제차 선형 연립상미분방정식Ch4.6(Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs)

비제차 선형 연립상미분방정식Ch4.6(Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs)

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

이계 상미분방정식에서 비제차 항이 있을 때, 두 가지 방법으로 해를 구했다.

• 1. 세가지 룰.

①Choice rule

②Modification rule

③Sum rule

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Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

• 2. 매개 변수 변환법(variation of parameters)

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Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

 

이와 유사하게 연립상미분방정식에서도 두 가지 방법을 사용한다. 예시와 함께 바로 알아보자.

• 1. 미정계수법. modification rule.

$$\left[\begin{array}{c}{y}_1^{\prime }\\ y_2^{\prime }\end{array}\right]={\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{Ay}+\mathbf{g}=\left[\begin{array}{cc}-3& 1\\ 1& -3\end{array}\right]\mathbf{y}+\left[\begin{array}{c}-6\\ 2\end{array}\right]e^{-2t}$$

Let,$\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{(h)}+{\mathbf{y}}^{(p)}$

 

제차항을 앞선 방법으로 구해보면(고유값 문제), 

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)

$$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$$

$$\Rightarrow {\mathbf{y}}^{(h)}=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-2t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]e^{-4t}$$

여기서, modification rule을 사용한다. $\mathbf{g}$ 해당 하는 항이, $e^{-2t}$에 비례하기 때문에,

$${\mathbf{y}}^{(p)}\equiv a\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]t{e}^{-2t}+\mathbf{v}{e}^{-2t}$$

여기서,  고유값 -2에 대한 고유벡터 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$을 유지하면서 t를 곱해서 수정하고 t를 곱하지 않은 항도 추가한다.

$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]$ 이므로,

미분방정식에 ${\mathbf{y}}^{(p)}$을 넣어보면 $\mathbf{v}$을 구할 수 있다.

$$\Rightarrow v_2=v_1+4,a=-2$$

$v_1$을 임의로 0으로 놓으면,

$$\Rightarrow {\mathbf{y}}^{(p)}=-2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]t{e}^{-2t}+\left[\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right]e^{-2t}$$

최종해는 제차해+비제차해 이므로,

$$\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{(h)}+{\mathbf{y}}^{(p)}$$

$\Rightarrow \mathbf{y}=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-2t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]e^{-4t}-2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]t{e}^{-2t}+\left[\begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\right]e^{-2t}$

만약 초기값 두 개만 주어진다면 $c_1,c_2$을 결정할 수 있다.

 

• 2. 매개변수 변환법(variation of parameters)

1.에서와 같은 문제를 다른 방법으로 풀어보자.

$\Rightarrow {\mathbf{y}}^{(h)}=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-2t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]e^{-4t}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-2t}& e^{-4t}\\ e^{-2t}& -e^{-4t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]$

$$=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{y}}^{(1)}& {\mathbf{y}}^{(2)}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]\equiv \mathbf{Y}\cdot \mathbf{c}$$

※$\mathbf{Y}$는 제차 해를 1열, 2열에 배치해서 2행 2열인 행렬이다.

 

여기서, 매겨변수 변환법의 기법을 적용한다. 결국 $\mathbf{u}$을 구하기 위함이다.

$${\mathbf{y}}^{(p)}(t)\equiv \mathbf{Y}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}\mathbf{u}(t)$$

이걸 미분방정식에 대입하면( ${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{Ay}+\mathbf{g}$ ),

$$\Rightarrow {\mathbf{Y}}^{\prime }\mathbf{u}+{\mathbf{Yu}}^{\prime }=\mathbf{AYu}+g$$

$\mathbf{Y}:\text{제차해 }\Rightarrow {\mathbf{Y}}^{\prime }\mathbf{u}=\mathbf{AYu}$

두 번째, 세 번째 항이 서로 소거되므로,

$${\mathbf{Yu}}^{\prime }=\mathbf{g}$$

$${\mathbf{u}}^{\prime }={\mathbf{Y}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{g}$$

그리고 성분별로 적분하면 $\mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}$을 구할 수 있다.

 

문제로 돌아가서 계산해보면,$${\mathbf{u}}^{\prime }={\mathbf{Y}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{g}=\left[\begin{array}{c}-2\\ -4e^{2t}\end{array}\right]$$$$\Rightarrow \mathbf{u}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}={\int }_0^t{\mathbf{Y}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{g}ds=\left[\begin{array}{c}-2t\\ -2e^{-2t}+2\end{array}\right]$$${\mathbf{y}}^{(p)}=\mathbf{Yu}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{-2t}& e^{-4t}\\ e^{-2t}& -e^{-4t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-2t\\ -2e^{-2t}+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2t-2\\ -2t+2\end{array}\right]e^{-2t}+\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right]e^{-4t}=-2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]t{e}^{-2t}+\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]e^{-2t}+\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right]e^{-4t}$

 

여기서 이 문제에 대한 테크닉적인 방법인데, 마지막 항은 제차해에 포함되므로 비제차해에서 제외한다. $\Rightarrow \mathbf{y}={\mathbf{y}}^{(h)}+{\mathbf{y}}^{(p)}=\{c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]e^{-2t}+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]e^{-4t}\}+\{-2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]t{e}^{-2t}+\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]e^{-2t}\}$

 

 

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Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1