Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

$$y''+p(x)y'+q(x)y'=r(x)\neq0$$

위 와 같은 미분방정식을 이계 비제차 미분방정식이라 한다.

이계 : 최대 미분이 2번

비제차(nonhomongeneous) : \(r(x)\neq0\)

제차(homogeneous) : \(r(x)=0\)

 

해에 대한 정의:

우선 제차해를 \(y_h\)로 정의한다

이계 제차 미방:\(y''+p(x)y'+q(x)y'=0\)

$$y_h\equiv y_1,y_2$$

$$\Rightarrow y_h=c_1y_1+c_2y_2$$

비제차 해는 \(y_p\)

이계 비제차 미방:\(y''+p(x)y+q(x)y'=r(x)\)

 

• General solution(일반해)

$$sol:y=y_h+y_p$$

$$\Rightarrow y=(c_1y_1+c_2y_2)+y_p$$

 

• Particular solution(특수해)

$$sol: y=(c_1y_1+c_2y_2)+y_p$$ 

에서 \(c_1,c_2\)가 결정된 해.

 

Theorem 1. 비제차 해와 제차해의 관계

1. 비제차 해 + 제차 해 =비제차 해

2. 비제차 해 - 또 다른 비제차 해 =제차 해

 

Theorem 2. 해의 존재성

$$p(x),q(x),r(x): 연속$$

$$\Rightarrow 특수해 \; 존재$$

 

비제차 해를 구하는 방법

>>Method of Undetermined Coefficients

(a) Basic Choice rules for \(y_p\)

 

\(r(x)\)	\(y_p(x)\)
\(ke^{mx}\)	\(Ke^{mx}\)
\(kx^n(n=0,1, \dotsb)\)	\(K_nx^n+K_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+K_1x+K_0\)
\(kcosws,ksinwx\)	\(K_1coswx+K_2sinwx\)
\(ke^{ax}coswx,ke^{ax}sinwx\)	\(e^{ax}(K_1coswx+K_1sinwx)\)

 

(b) Modification rule:

$$ \times x, \times x^2, \times x^3, \dotsb$$

 

(c) Sum rule:

비제차 항을 분리해서 따로 구해서 더할 수 있다.

$$r(x)=r_1(x)+r_2(x)으로\: 분리$$

$$\Rightarrow y_p=(y_p)_1+(y_p)_2$$

 

위의 (a),(b),(c)을 각각 활용한 예제 3개 알아보자.

ex1)

$$y''+y=0.001x^2,y(0)=0,y'(0)=1.5$$

 

step1) 상수 계수 미분방정식

$$y''+y=0 \Rightarrow y_h=Acosx+Bsinx$$

step2) (a) 사용

$$y_p \equiv K_2x^2+K_1x+K_0$$

$$\Rightarrow (2K_2)+(K_2x^2+K_1x+K_0)=0.001x^2 \Rightarrow y_p=0.001x^2-0.002$$

step3)

$$y=y_h+y_p=Acosx+Bsinx+0.001x^2-0.002$$

$$I.C. \Rightarrow 0=y(0)=A-0.002, 1.5=y'(0)=B$$

answer:

$$y=0.002cosx+1.5sinx+0.001x^2-0.002$$

 

ex2)

$$y''+3y'+2.25y=-10e^{-1.5x},y(0)=1,y'(0)=0$$

step1) by 상수 계수 미분 방정식의 특성방정식

$$\lambda^2+3\lambda+1.5^2=0 \Rightarrow y_h=(c_1+c_2)e^{-1.5x}$$

step2) (b) 사용

$$y_p \equiv Cx^2e^{-1.5}$$

$$\Rightarrow [(-1.5^2x^2-3x-3x+2)+3(2x-1.5x^2)+2.25x^2]Ce^{-1.5x}=-10e^{-1.5x}$$

$$\Rightarrow y_p=-5x^2e^{-1.5x}$$

step3) 초기값 적용

$$y=(c_1+c_2x-5x^2)e^{-1.5x}$$

$$1=y(0)=c_1,0=y'(0)=c_2-1.5c_1$$

$$\Rightarrow y=(1+1.5x-5x^2)e^{-1.5x}$$

 

ex3)

$$y''+2y'+0.75y=2cosx-0.25sinx+0.09x,y(0)=2.78,y'(0)=-0.43$$

step1) by 상수 계수 미분방정식의 특성방정식

$$\lambda^2+2\lambda+0.75=(\lambda+0.5)(\lambda+1.5)=0$$

$$\Rightarrow y_h=c_1e^{-0.5x}+c_2e^{-1.5x}$$

step2) (c) 사용

$$(y_p)_1=Kcosx+Msinx, (y_p)_2=K_1x+K_0$$

각각, 미분 방정식에 대입해서 구해보면,

$$\Rightarrow K=0, M=1, K_1=\frac{9}{75},K_0=-\frac{24}{75}$$

$$\Rightarrow y_p=sinx+\frac{9}{75} x-\frac{24}{75} $$

step3) 초기값 적용

$$y=y_h+y_p=c_1e^{-0.5x}+c_2e^{-1.5x}+sinx+\frac{9}{75}-\frac{24}{75}$$

$$2.78=y(0)=c_1+c_2-\frac{24}{75},-0.43=y'(0)=-0.5c_1-1.5c_2+1+\frac{9}{75}$$

$$\Rightarrow c_1=3.1,c_2=0$$

$$\Rightarrow y=3.1e^{-0.5x}+sinx+0.12x-0.32$$

 

※정리해보자면,

비제차, 제차 항을 분리해서 미방의 해를 구하며 비제차\(r(x)\)의 꼴에 따라 \(y_p(x)\)모양을 선택한다.

\(y_p(x)\)모양을 선택하는데는 (a),(b),(c) rule을 가지고 선택한다.

조금 노가다적인 측면이 있지만, 정석적인 방법이기도 하다.

 

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