Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

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Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

이계 미분 방정식의 존재성과 유일성 정리에 대해 알아보자.

정리의 순서는 미분방정식의 책마다 다르겠지만, Kreysig 공업수학 책을 기준으로 정리한다.

우선 존재성과 유일성을 판단하기 이전에 초기조건이 있어야 판단이 가능하다.

이계 미분방정식이므로 초기조건이 2개 있어야 한다. 다음과 같다.

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

$$y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1$$

위와 같은 문제를 초기값 문제(IVP: initial value problem)라고 한다.

Theorem 1. IVP에 대한 존재정과 유일성 정리.

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

If,

$$p(x),q(x) : 연속  on \: x\in(a,b), x_0 \in (a,b)$$

$$\Rightarrow  유일해  on \: x \in(a,b)$$

 

쉽게 말해, 

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

에서, \( p(x),q(x)\)가 초기값에 해당하는 \(x\)에서 연속이면 유일한 해를 가진다. 해가 존재한다는 의미도 당연히 포함되어있다.

 

Theorem 2. Wronskian과 선형 독립과의 관계.

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

\(p(x),q(x)\)가 \(x\in(a,b)\)에서 연속이라고 가정하자.(해가 유일하다)

1. 두 해 \(y_1,y_2\)가 선형 종속(dependent) \(\Leftrightarrow Wronskian(y_1,y_2) \equiv \begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2'-y_2y_1'=0\)

 

2. If, $$W(y_1,y_2)=0 \; on \; x_0 \in (a,b)$$

$$\Rightarrow W(y_1,y_2) \equiv 0 \; for \; x\in(a,b)$$ 

쉽게 말해,

구간에서의 한 점에서 Wronskian이 0이라면, 구간 \(a,b\)에서 Wronskian이 0이다.

 

2'. 2의 대우 명제.

If, 

$$x_1 \in (a,b)가 \; W(y_1,y_2) \neq 0 $$

$$\Rightarrow y_1,y_2 \; are \; linearly \; independent(독립)$$

 

Theorem 3. 일반해의 존재성.

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$에서

$$If, p(x),q(x):연속 \; on \; x\in (a,b)$$

$$\Rightarrow 일반해가 \;존재, \; x\in(a,b)$$

 

Theorem 4. 일반해가 모든 해를 포함한다.

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$에서

$$If, p(x),q(x):연속 \; on \; x\in (a,b)$$

$$\Rightarrow c_1y_1+c_2y_2가 \; 모든\; 해를\; 포함$$

 

※총 정리해보자면,

$$ y''+p(x)y'+q(x)y=0$$에서

\(p(x),q(x)\)가 연속이라면,

일반해가 유일하게 존재(정리1)하고, \(c_1y_1+c_2y_2\) form이 모든 해(정리4)를 포함한다.

추가적으로, \(Wronskian(y_1,y_2)\)(정리3)으로 선형 독립성을 판단할 수 있다.

 

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