Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

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Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

2계 미방부터는 해법이 간단하지 않다. 따라서, 다음과 같은 간단한 상수계수 제차2계미분방정식에 대해 알아본다.

$$y''+ay'+by=r(x)$$

제차 : \(r(x)=0\)

$$\Rightarrow y''+ay'+by=0$$

 

미분해서 상수만 튀어나오는 함수는 대표적으로 지수함수 \(e^x\)가 있다.

$$기법 :y=e^{\lambda x}$$

$$\Rightarrow \lambda^2 e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0$$

$$\Rightarrow e^{\lambda x}(\lambda^2+a\lambda+b)=0$$

$$e^{\lambda x} \neq 0$$

$$\Rightarrow \lambda^2+a\lambda+b=0: \; 특성방정식$$

Characteristic equation(특성방정식) : \(\lambda^2+a\lambda+b=0\)

 

상수계수의 미방은 특성방정식의 근을 먼저 구한다.

그리고 이차방정식이기에 두 실근, 중근, 두 허근으로 해 종류를  세가지로 나눌 수 있다.

 

①서로 다른 두 실근(\(\lambda=\lambda_1,\lambda_2\))

sol:

$$y_1=e^{\lambda_1 x},y_2=e^{\lambda_2 x} : 선형 독립 $$

$$\Rightarrow 일반해 :\; y=c_1 e^{\lambda_1 x}+c_2 e^{\lambda_2 x}$$

 

ex)

$$y''+y'-2y=0,\;y(0)=4,\;y'(0)=-5$$

sol:

$$\lambda^2+\lambda-2=0 \Rightarrow \lambda=1,-2$$

$$\Rightarrow 일반해 \; y=c_1 e^x+c_2 e^{-2x}$$

초기 조건 사용

$$y(0)=4 \Rightarrow c_1+c_2=4$$

$$y'(0)=-5 \Rightarrow c_1-2c_2=-5$$

$$\Rightarrow c_1=1, \; c_2=3$$

$$\Rightarrow y=e^x+3e^{-2x}$$

 

② 실수인 중근( \(\lambda=-\frac{a}{2}\))

$$y''+ay'+\frac{a^2}{4}=0$$

$$\Rightarrow \lambda^2+a\lambda+\frac{a^2}{4}=0$$

$$\lambda=-\frac{a}{2}$$

$$y_1=e^{-\frac{a}{2}x}$$

$$y_2=??$$

 

기법: \(y_2=uy_1\), 계수 감소법 사용

계수 감소법 설명 링크: physical-world.tistory.com/17

$$\Rightarrow u=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx$$

$$=\int \frac{e^{-\int a dx}}{(e^{-\frac{a}{2}x})^2}dx=\int \frac{e^{-ax}}{e^{-ax}} dx=x$$

$$\Rightarrow y_2=xe^{-\frac{a}{2}x}$$

$$\therefore y_1=e^{-\frac{a}{2}}, \; y_2=xe^{-\frac{a}{2}} \; \blacktriangleright y_1, y_2 : 선형독립$$

최종적으로, 중첩의 원리를 이용하여

$$일반해 : y=c_1e^{-\frac{a}{2}}+c_2xe^{-\frac{a}{2}}$$

 

ex)

$$y''+6y'+9y=0$$

특성방정식(Characteristic equation): \(\lambda ^2+6\lambda+9=0\)

double root : \(\lambda=-3\)

$$\Rightarrow y=(c_1+c_2 x)e^{-3x}$$

 

comment: 본 미방에서 특성방정식의 해가 중근일 때, 지수함수 꼴(\(y_1\))에 \(x\)만 곱하면 \(y_2\)가 된다.

그리고, 이 \(x\)는 계수 감소법으로 부터 유도할 수 있다. 

 

③ 두 허근

$$\lambda^2+a\lambda+b=0, D(판별식)=a^2-4b<0$$

근의 공식을 사용하면,

$$\lambda=\frac{-a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}=\frac{-a \pm i \sqrt{4b-a^2}}{2}$$

$$Let, w=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$

$$\Rightarrow \lambda_1=-\frac{a}{2}+iw, \lambda_2=-\frac{a}{2}-iw$$

$$y_1=e^{-\frac{a}{2}x}e^{+iw}, \; y_2=e^{-\frac{a}{2}x}e^{-iw}$$

$$ 복소수\; 일반해 : y=c_1e^{(-\frac{a}{2}+iw)x}+c_2e^{(-\frac{a}{2}-iw)x}$$

근데 만약 복소수 형태가아닌 실수 형태의 일반해를 갖고 싶다면,

위의 두 해를 적절히 선형결합(스칼라 곱해서 더하기) 하면된다.

\(Let, \; \frac{y_1+y_2}{2}=e^{-\frac{a}{2}x}coswx, \frac{y_1+y_2}{2i}=e^{-\frac{a}{2}x}sinwx \)

$$ 실수\; 일반해: y=c_1e^{-\frac{a}{2}}coswx+c_2e^{-\frac{a}{2}}sinwx$$

 

ex)

$$y''+0.4y'+9.04y=0$$

특성방정식 : \(\lambda^2+0.4\lambda+9.04\lambda=0\ \Rightarrow \lambda=-0.2\pm 3i \)

$$ 실수 일반해:y=c_1e^{-0.2x}cos3x+c_2e^{-0.2x}sin3x$$

또는,

$$ 복소수 일반해:y=c_1e^{(-0.2+i3)x}+c_2e^{(-0.2-i3)x}$$

 

comment : 실제 물리현상은 실수 값이 중요하다. 하지만, 물리적 해석방법에 따라 복소수를 고려해야 편한 경우도 있기에 미방의 상황 또는 물리적 시스템에 따라 일반해 종류를 적절히 고른다.

 

정리해보자면,

이계 선형 계수 미방에 대해 알아보았다.

다음과 같은 미방에서

$$y''+ay'+b=0$$

특성 방정식 \(\lambda^2+a\lambda+b=0\)을 근의 공식으로 해를 구해서 일반해를 찾는다.

근이 두 개이면, 각각이 basis가 되고

근이 한 개(중근)이면, \(y_1\)에 \(x\)을 곱하여 \(y_2\)을 완성해 basis가 된다.

이 \(x\)의 원천은 계수 감소법이다. 

 

Tip: 중학교부터 배우는 판별식 \(D=a^2-4b\)의 부호를 먼저 알고 어떻게 해를 꾸려갈지 생각해보는 것도 팁이다.

 

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