상대론적 에너지, 정지에너지 관계식:\(E^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2\)

총 에너지, 정지에너지, 운동에너지의 상대론적 관계식을 일과 에너지의 관계로 부터 구해보자.

 

총 에너지:\(E\)

정지에너지:\(E_0=m_0 c^2\)

운동에너지:\(T\)

※Lorentz factor \(\gamma=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)

 

$$Induce \;  E=\gamma m_0 c^2 $$

일과 에너지의 정리에 의해

해준 일 = 운동에너지( \(T\) )의 변화량

※운동량 \(p = \gamma m_0 v\)

 

$$\Delta T= W = \int^s_0 F ds=\int^s_0 \frac{dp}{dt}ds$$

$$=\int^s_0 \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v )ds$$

$$=\int \frac{d}{dt}(\gamma m_0 v)vdt = \int v d(\gamma m_0  v)=m_0\int vd(\gamma v)$$

$$=m_o \int v d(\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$$

$$=m_0v\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0\int \frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} (\because  \int xdy=xy-\int ydx)$$

$$=\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_0c^2  \left[ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right]^v_0$$

$$=\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_0c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}- 1$$

$$=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}- m_0c^2 $$

$$=\gamma m_0c^2 - m_0c^2 =(\gamma-1) m_0c^2$$

 

$$\text{Total Energy = Rest mass energy + △T}$$

$$=m_0c^2+(\gamma-1)m_0c^2 =\gamma m_0c^2$$

 

즉, 

총 에너지 = 정지 질량 에너지 + 운동 에너지

 

$$\text{Induce} \; E^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2$$

※\(\beta=\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}} \)

 

$$p=\gamma m_0v$$

$$\Rightarrow p^2c^2=(\gamma m_0v)^2c^2=\gamma^2{m_0}^2c^4\frac{v^2}{c^2} $$

$$=\gamma^2{m_0}^2c^4 \beta^2=\gamma^2{m_0}^2c^4(1-\frac{1}{\gamma^2})=\gamma^2{m_0}^2c^4-{m_0}^2c^4=E^2-E_0^2$$

$$\Rightarrow E^2=(m_0 c^2)^2+(pc)^2$$

 

ex)

If, particle is at rest(정지 상태)

\(v=0 \rightarrow p=0\)

$$E^2=(m_0 c^2)^2+(pc)^2$$

$$\Rightarrow E=E_0$$

 

ex)

If, 광자 or 중성미자 처럼 질량이 0인 경우

\(m_0=0\)

$$E^2=(m_0 c^2)^2+(pc)^2=(pc)^2$$

$$\Rightarrow E=pc$$

 

즉, 광자나 중성미자는 질량은 없으나 에너지와 운동량을 가진 입자이다. 따라서, 진공에서 바람개비에 빛을 쏘아주면 회전시킬 수 있다.

 

• 응용

① \( |\vec p |=\frac{\beta E}{c}\)

proof)

$$|\vec p |=|m \vec v|= |\gamma m_0 \vec v|=\frac{\gamma m_0 c^2 v}{c^2}=E \frac{v}{c^2}=\frac{E}{c}\beta$$

 

의미: 총 에너지, 속도를 알면 운동량을 알 수 있다.

또는 총 에너지, 운동량, 속도 셋 중에 두 값을 알면 나머지 한 값을 알 수 있다.

 

② \( (\vec p c)^2=T^2+2Tm_oc^2\)

proof)

$$\begin{cases} E^2=(m_0c^2)^2+(\vec p c)^2 \\ E=m_0 c^2 + T \end{cases}$$

$$\Rightarrow (m_0 c^2 + T)^2= (m_0c^2)^2+(\vec p c)^2$$

$$\Rightarrow (\vec p c)^2=T^2+2Tm_oc^2=(\vec p c)^2=T^2+2TE_0$$

 

의미: 운동 에너지, 정지 질량을 알면 운동량을 알 수 있다.

또는 운동 에너지, 정지 질량, 운동량 셋 중에 두 값을 알면 나머지 한 값을 알 수 있다.

 

 

ex)

상대론적 운동량과 고전적인 운동량과 비교해보자.

$$p_{cm}=m_ov$$

$$p_{rel}=\gamma m_0v=\frac{m_ov}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

비율:

$$rate=p_{re}/p_{cm}=\gamma=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

 

만약,\(v=0.86c\) 

$$rate \approx 2$$

 

만약,\(v=0.94c\)

$$rate \approx 3$$

 

거꾸로, 비율이 \(n\)배가 되기 위해선( \(n = \gamma \) ) \(\beta=\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\)가 몇이 되어야 할까?

$$n=2,3,4,5,6,7,8,9,10 \cdots$$

$$\beta=0.86603, 0.94281, 0.96825, 0.97980, 0.98601, 0.98974, 0.99216, 0.99381, 0.99499$$

 

$$n=100,10^4,10^6,2800000$$

$$\beta=0.99994, 0.999999995, 0.9999999999995, 0.99999999999994$$

 

※현재, LHC가 목표하는 14TeV에 해당하는 입자 가속기(\(n \approx 2800000\))는

$$\beta \approx 0.99999999999994 $$

숫자 9가 13개나 있다.

 

 

참고:입자충돌의 물리학(주경광 지음)

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