상대론적 에너지, 정지에너지 관계식:\(E^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2\)

총 에너지, 정지에너지, 운동에너지의 상대론적 관계식을 일과 에너지의 관계로 부터 구해보자.

 

총 에너지:$E$

정지에너지:$E_0=m_0{c}^2$

운동에너지:$T$

※Lorentz factor $\gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

 

$$InduceE=\gamma m_0{c}^2$$

일과 에너지의 정리에 의해

해준 일 = 운동에너지( $T$ )의 변화량

※운동량 $p=\gamma m_{0}v$

 

$$\mathrm{\Delta }T=W={\int }_0^{s}Fds={\int }_0^s\frac{dp}{dt}ds$$

$$={\int }_0^s\frac{d}{dt}(\gamma m_{0}v)ds$$

$$=\int \frac{d}{dt}(\gamma m_{0}v)vdt=\int vd(\gamma m_{0}v)=m_0\int vd(\gamma v)$$

$$=m_o\int vd(\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})$$

$$=m_{0}v\frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0\int \frac{vdv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(\because \int xdy=xy-\int ydx)$$

$$=\frac{m_0{v}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_0{c}^2{\left[\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right]}_0^v$$

$$=\frac{m_0{v}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-1$$

$$=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m_0{c}^2$$

$$=\gamma m_0{c}^2-m_0{c}^2=(\gamma -1)m_0{c}^2$$

 

$$\text{Total Energy = Rest mass energy + △T}$$

$$=m_0{c}^2+(\gamma -1)m_0{c}^2=\gamma m_0{c}^2$$

 

즉, 

총 에너지 = 정지 질량 에너지 + 운동 에너지

 

$$\text{Induce}{E}^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$$

※$\beta =\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}$

 

$$p=\gamma m_{0}v$$

$$\Rightarrow p^2{c}^2=(\gamma m_{0}v{)}^2{c}^2={\gamma }^2{m_0}^2{c}^4\frac{v^2}{c^2}$$

$$={\gamma }^2{m_0}^2{c}^4{\beta }^2={\gamma }^2{m_0}^2{c}^4(1-\frac{1}{{\gamma }^2})={\gamma }^2{m_0}^2{c}^4-{m_0}^2{c}^4=E^2-E_0^2$$

$$\Rightarrow E^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$$

 

ex)

If, particle is at rest(정지 상태)

$v=0\to p=0$

$$E^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$$

$$\Rightarrow E=E_0$$

 

ex)

If, 광자 or 중성미자 처럼 질량이 0인 경우

$m_0=0$

$$E^2=(m_0{c}^2{)}^2+(pc{)}^2=(pc{)}^2$$

$$\Rightarrow E=pc$$

 

즉, 광자나 중성미자는 질량은 없으나 에너지와 운동량을 가진 입자이다. 따라서, 진공에서 바람개비에 빛을 쏘아주면 회전시킬 수 있다.

 

• 응용

① $|\overrightarrow{p}|=\frac{\beta E}{c}$

proof)

$$|\overrightarrow{p}|=|m\overrightarrow{v}|=|\gamma m_0\overrightarrow{v}|=\frac{\gamma m_0{c}^{2}v}{c^2}=E\frac{v}{c^2}=\frac{E}{c}\beta$$

 

의미: 총 에너지, 속도를 알면 운동량을 알 수 있다.

또는 총 에너지, 운동량, 속도 셋 중에 두 값을 알면 나머지 한 값을 알 수 있다.

 

② $(\overrightarrow{p}c{)}^2=T^2+2T{m}_o{c}^2$

proof)

$$\{\begin{array}{l}{E}^2=(m_0{c}^2{)}^2+(\overrightarrow{p}c{)}^2\\ E=m_0{c}^2+T\end{array}$$

$$\Rightarrow (m_0{c}^2+T{)}^2=(m_0{c}^2{)}^2+(\overrightarrow{p}c{)}^2$$

$$\Rightarrow (\overrightarrow{p}c{)}^2=T^2+2T{m}_o{c}^2=(\overrightarrow{p}c{)}^2=T^2+2T{E}_0$$

 

의미: 운동 에너지, 정지 질량을 알면 운동량을 알 수 있다.

또는 운동 에너지, 정지 질량, 운동량 셋 중에 두 값을 알면 나머지 한 값을 알 수 있다.

 

 

ex)

상대론적 운동량과 고전적인 운동량과 비교해보자.

$$p_{cm}=m_{o}v$$

$$p_{rel}=\gamma m_{0}v=\frac{m_{o}v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

비율:

$$rate=p_{re}/p_{cm}=\gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

 

만약,$v=0.86c$ 

$$rate\approx 2$$

 

만약,$v=0.94c$

$$rate\approx 3$$

 

거꾸로, 비율이 $n$배가 되기 위해선( $n=\gamma$ ) $\beta =\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}$가 몇이 되어야 할까?

$$n=2,3,4,5,6,7,8,9,10\cdots$$

$$\beta =0.86603,0.94281,0.96825,0.97980,0.98601,0.98974,0.99216,0.99381,0.99499$$

 

$$n=100,{10}^4,{10}^6,2800000$$

$$\beta =0.99994,0.999999995,0.9999999999995,0.99999999999994$$

 

※현재, LHC가 목표하는 14TeV에 해당하는 입자 가속기($n\approx 2800000$)는

$$\beta \approx 0.99999999999994$$

숫자 9가 13개나 있다.

 

 

참고:입자충돌의 물리학(주경광 지음)

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