Direction Fields, Euler's method CH 1.2

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상미분방정식 기본 개념 CH1.1

Direction Fields, Euler's method CH 1.2

• Direction Fields

열의 흐름과 같은 흐름선을 방향벡터로 나타낼 수 있다. 그와 유사하게 미분방정식의 기울기(\(dy\over{dx} \))를 각 좌표마다 구해서 나타낼 수 있고, 그 그래프를 Direction Field 라고한다.

$$ ex : y'=y+x $$

$$(x,y)=(0,0) 에서 y'=0$$

• Euler's Method을 이용한 y구하기 (Numeric Method-수치해석적 방법)

>> General solution 구하기 어려울 때, 수치적으로 y에 대한 값을 근사하는 방법.

 

초기 값 문제에서

$$y'=f(x,y),\:y(x_0)=y_0$$

Euler's Method : 각 좌표에서의 선형 근사\((y')\)로 \(y\)값 찾기.

$$y_1=y_0+\Delta \times f(x_0,y_0)$$

$$...$$

$$y_n=y_{n-1}+\Delta \times f(x_{n-1},y_{n-1})$$

$$단, 여기서 x_n=x_0+n\Delta,\:\Delta는 one\: step$$

 

위와 같은 방법으로 \(y'\)을 알고 있을 때, \(y\)를 오일러 방법을 사용하여 수치해석적으로 구할 수 있다. 선형 근사를 이용하는 점에서 미적분학의 Newton's Method와 유사하다.

Newton's Method : 각 좌표에서의 선형 근사로 해 찾기.

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

$$...$$

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

 

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Separable ODE ( 변수분리법 ) CH1.3