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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4 본문
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Separable ODE ( 변수분리법 ) CH1.3
제일 기본적인 상미분방정식 해법이다. \(y\)는 \(y\)끼리 \(x\)는 \(x\)끼리 사칙연산을 이용하여 좌변, 우변에 다음과 같이 분류한다. $$g(y)y'=f(x)\:or\:g(y)dy=f(x)dx$$ $$\Rightarrow \: \int g(y)dy=\int f..
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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4
- 전미분(total differential)의 뜻을 알아야한다.
\(u(x,y)\)의 전미분 :
$$du(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$$
예시부터 보자.
\(만약, u(x,y)=c 라면 \Rightarrow \) \(du=0\)
$$ex : u=x+x^2y^3=c$$
$$du=(1+2xy^3)dx+(3x^2y^2)dy=0$$
$$\Leftrightarrow 상미분방정식 y'=-\frac{1+2xy^2}{3x^2y^2}$$
-
완전미분방정식의 정의 :
상미분방정식
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
을 완전미분방정식이라 부른다. 그리고,
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=du=u_xdx+u_ydy$$
을 만족하면 완전하다( exact )하다 라고 한다.
더 쉽게 이해하자면 \(M_y=N_x\)일 때 완전하다라고 할 수 있다.
왜냐하면,
$$M_y=u_{xy}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}$$
$$N_x=u_{yx}=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} $$
※\(u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x})\)
\(u(x,y)\)의 편미분이 연속이라면,
$$M_y=N_x$$
즉, \(u(x,y)=c\)로 부터 얻어졌음을 알 수 있다.
-
정리하자면,
완전미분방정식
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0에서$$
$$M_y=N_x 라면$$
$$\Rightarrow 완전하다 $$
$$해 : u(x,y)=c$$
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Integrating factor (적분인자) Ch1.4
아래와 같은 미분방정식에서 $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ $$M_y=N_x$$ 라면, exact(완전)하다 라고 한다. 만약, \(M_y \neq N_x\)라면 완전하지않다. 이럴 때, 적분인자를 등식에 곱하여 완전미분방정식 꼴로 바꿔줄.
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