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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4 본문

공학수학(미분방정식)/ODE(일변수미방)

Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

물리영이 2020. 7. 24. 00:54
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Separable ODE ( 변수분리법 ) CH1.3

제일 기본적인 상미분방정식 해법이다. yy끼리 xx끼리 사칙연산을 이용하여 좌변, 우변에 다음과 같이 분류한다. g(y)y=f(x)org(y)dy=f(x)dx $$\Rightarrow \: \int g(y)dy=\int f..

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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

  • 전미분(total differential)의 뜻을 알아야한다. 

u(x,y)의 전미분 :

du(x,y)=uxdx+uydy

 

예시부터 보자.

,u(x,y)=c du=0

 

ex:u=x+x2y3=c

du=(1+2xy3)dx+(3x2y2)dy=0

y=1+2xy23x2y2

 

  • 완전미분방정식의 정의 :

상미분방정식 

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

을 완전미분방정식이라 부른다. 그리고,

M(x,y)dx+N(x,y)dy=du=uxdx+uydy

을 만족하면 완전하다( exact )하다 라고 한다.

 

더 쉽게 이해하자면 My=Nx일 때 완전하다라고 할 수 있다.

왜냐하면,

My=uxy=2uyx

Nx=uyx=2uxy

uxy=y(ux)

u(x,y)의 편미분이 연속이라면,

My=Nx 

즉, u(x,y)=c로 부터 얻어졌음을 알 수 있다.

 

  • 정리하자면,

완전미분방정식

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

My=Nx

:u(x,y)=c 

 

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Integrating factor (적분인자) Ch1.4

아래와 같은 미분방정식에서 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 My=Nx 라면, exact(완전)하다 라고 한다. 만약, MyNx라면 완전하지않다. 이럴 때, 적분인자를 등식에 곱하여 완전미분방정식 꼴로 바꿔줄.

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