Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

• 전미분(total differential)의 뜻을 알아야한다. 

$u(x,y)$의 전미분 :

$$du(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$$

 

예시부터 보자.

$만약,u(x,y)=c라면\Rightarrow$ $du=0$

 

$$ex:u=x+x^2{y}^3=c$$

$$du=(1+2x{y}^3)dx+(3x^2{y}^2)dy=0$$

$$\iff 상미분방정식y^{\prime }=-\frac{1+2x{y}^2}{3x^2{y}^2}$$

 

• 완전미분방정식의 정의 :

상미분방정식 

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

을 완전미분방정식이라 부른다. 그리고,

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=du=u_{x}dx+u_{y}dy$$

을 만족하면 완전하다( exact )하다 라고 한다.

 

더 쉽게 이해하자면 $M_y=N_x$일 때 완전하다라고 할 수 있다.

왜냐하면,

$$M_y=u_{xy}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y\partial x}$$

$$N_x=u_{yx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$$

※$u_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial u}{\partial x})$

$u(x,y)$의 편미분이 연속이라면,

$$M_y=N_x$$ 

즉, $u(x,y)=c$로 부터 얻어졌음을 알 수 있다.

 

• 정리하자면,

완전미분방정식

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0에서$$

$$M_y=N_x라면$$

$$\Rightarrow 완전하다$$

$$해:u(x,y)=c$$ 

 

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Integrating factor (적분인자) Ch1.4