Linear ODE (선형 미분방정식 제차,비제차) Ch1.5

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Integrating factor (적분인자) Ch1.4

Linear ODE (선형 미분방정식 제차,비제차) Ch1.5

다음과 같은 일계 선형상미분방정식 해를 알아보자.

$$y^{\prime }+p(x)y=r(x)$$

 

※왜 선형이냐?

$y$의 일차식만 있기 때문이다. $y^2$와 같은 높은 차수가 있으면 선형 미분방정식이 아니다.

 

• Homogeneous Linear ODE ( 제차($r(x)=0$) 선형상미분방정식) 

$$y^{\prime }+p(x)y=0(first-order)$$

$$\Rightarrow \frac{dy}{y}=-p(x)dx\Rightarrow ln|y|=-\int p(x)dx+c\ast$$

$$\Rightarrow y(x)=c{e}^{-\int p(x)dx}$$

 

• Nonhomoneneous Linear ODE ( 비제차($r(x)\ne 0$) 선형상미분방정식

$$y^{\prime }+p(x)y=r(x)(first-order)$$

$$\Rightarrow (py-x)dx+dy=0$$

$$\Rightarrow (py-x{)}_y=p(x)\ne 1_x$$

완전하지 않다. 완전미분방정식의 적분 인자를 이용해보자. $R(x)=\frac{P_y-Q_x}{Q},F(x)=e^{\int R(x)dx}$

$$\Rightarrow R(x)=\frac{(py-x{)}_y-1_x}{1}=p(x)$$

$$\Rightarrow F(x)=e^{\int p(x)dx}$$

미분방정식 양변에 F를 곱하면

$$\Rightarrow e^{\int pdx}(y^{\prime }+py)=e^{\int pdx}r$$

$$\Rightarrow (e^{\int pdx}y{)}^{\prime }=e^{\int pdx}r$$

$$\Rightarrow y=e^{-h}(\int e^{h}rdx+c),h=\int p(x)dx$$

또는

$$y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}rdx+c)$$

 

비제차의 해를 일반적으로 자주 사용하고, 해가 복잡해보이지만 적용하면 익숙해진다.

특히, $h=ln(f(x))$형식으로 나온다면, 계산은 손쉬워진다. 

$e^h=e^{lnf(x)}=f(x)$이기 때문이다.

 

ex)초기값 문제

$$y^{\prime }+ytanx=sin2x,y(0)=1$$

$$p(x)=tanx,r(x)=sin2x$$

$$\Rightarrow h=\int p(x)dx=\int tanxdx=ln|secx|$$

$$y=e^{-h}(\int e^{h}rdx+c)=e^{-ln|secx|}(\int e^{ln|secx|}sin2xdx+c)$$

$$=cosx(\int secx(2sinxcosx)dx+c)=cosx(\int 2sinxdx+c)$$

$$=cosx(-2sinx+c)$$

조건에서 $y(0)=1$이므로,

$$1=cos0(c-2cos0)\Rightarrow c=3$$

최종해는.

$$y=3cosx-2co{s}^{2}x$$

 

위 해법은 1계 선형 미방을 모두 풀어낼수 있으므로 유용하고, 시험준비를 위해선 필수암기 공식이다.

 

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