Integrating Factor (적분인자) Ch1.4

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Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

Integrating Factor (적분인자) Ch1.4

아래와  같은 미분방정식에서

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

$$M_y=N_x$$

라면, exact(완전)하다 라고 한다.

 

만약, $M_y\ne N_x$라면 완전하지않다.

 

이럴 때, 적분인자를 등식에 곱하여 완전미분방정식 꼴로 바꿔줄 수 있다. 

 

ex)

$$-ydx+xdy=0$$

$$M=-y,N=x$$

$$M_y=-1\ne N_x=1$$

여기서 양변에 $F=\frac{1}{x^2}$을 곱한다.

그러면.

$$\frac{-ydx}{x^2}+\frac{dy}{x}=0=du(x,y)$$ 

여기서 $u(x,y)=\frac{y}{x}=c$가 일반해이다.

 

위 예제에서의 F에 해당하는 일반적인 F를 구해보자.

 

정의:

다음과 같은 완전하지 않은 미분방정식이 있다.

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

하지만,

$$F(x,y)P(x,y)dx+F(x,y)Q(x,y)dy=0$$

을 만들면 완전해진다. 

이럴 때, F를 intergrating factor(적분인자)라고 한다.

 

유도:

$$F(x,y)P(x,y)dx+F(x,y)Q(x,y)dy=0$$

이 완전하려면,

$$(FP{)}_y=(FQ{)}_x$$

$$F_{y}P+F{P}_y=F_{x}Q+F{Q}_x$$

여기서, 특이한 점이 추가되는데 $F=F(x)orF=F(y)$이다.
① $F=F(x)\Rightarrow F_y=0\Rightarrow F{P}_y=F_{x}Q+F{Q}_x\Rightarrow \frac{F_x}{F}=\frac{P_y-Q_x}{Q}\Rightarrow \frac{dF}{F}=\frac{P_y-Q_x}{Q}dx$

양변을 적분하면,

$$\int \frac{dF}{F}=\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx\Rightarrow$$

$$ln|F|=\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx=\int R(x)dx$$

$$즉,F=F(x)=e^{\int Rdx}=e^{\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx}$$

 

여기서, 주목해야할 점은 

$$R=R(x)$$

이어야 적분이 성립된다.

$R\ne R(x)$라면 ② 방법을 사용한다.

 

② $F=F(y)\Rightarrow F_x=0\Rightarrow F_{y}P+F{P}_y=F{Q}_x\Rightarrow \frac{F_y}{F}=\frac{Q_x-P_y}{P}\Rightarrow \frac{dF}{F}=\frac{Q_x-P_y}{P}dy$

양변을 적분하면,

$$\int \frac{dF}{F}=\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy\Rightarrow$$

$$ln|F|=\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy=\int R^{\ast }(y)dy$$

$$즉,F=F(y)=e^{\int R^{\ast }dy}=e^{\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy}$$

 

여기서, 주목해야할 점은

$$R^{\ast }=R^{\ast }(y)$$

이어야 적분이 성립된다.

 

※ $R=R(x,y)$ 다변수로 나오면 완전미방으로 해 못구함

 

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