Integrating Factor (적분인자) Ch1.4

-이전 글

physical-world.tistory.com/11

Exact ODE ( 완전미분방정식 ) Ch1.4

Integrating Factor (적분인자) Ch1.4

아래와  같은 미분방정식에서

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

$$M_y=N_x$$

라면, exact(완전)하다 라고 한다.

 

만약, \(M_y \neq N_x\)라면 완전하지않다.

 

이럴 때, 적분인자를 등식에 곱하여 완전미분방정식 꼴로 바꿔줄 수 있다. 

 

ex)

$$-ydx+xdy=0$$

$$M=-y,\; N=x$$

$$M_y=-1 \neq N_x=1$$

여기서 양변에 \( F=\frac{1}{x^2} \)을 곱한다.

그러면.

$$\frac{-ydx}{x^2}+\frac{dy}{x}=0=du(x,y) $$ 

여기서 \(u(x,y)=\frac{y}{x}=c\)가 일반해이다.

 

위 예제에서의 F에 해당하는 일반적인 F를 구해보자.

 

정의:

다음과 같은 완전하지 않은 미분방정식이 있다.

$$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

하지만,

$$F(x,y)P(x,y)dx+F(x,y)Q(x,y)dy=0$$

을 만들면 완전해진다. 

이럴 때, F를 intergrating factor(적분인자)라고 한다.

 

유도:

$$F(x,y)P(x,y)dx+F(x,y)Q(x,y)dy=0$$

이 완전하려면,

$$(FP)_y=(FQ)_x$$

$$F_yP+FP_y=F_xQ+FQ_x$$

여기서, 특이한 점이 추가되는데 \(F=F(x) or F=F(y)\)이다.
① \(F=F(x) \Rightarrow F_y=0 \Rightarrow FP_y=F_xQ+FQ_x \Rightarrow \frac{F_x}{F}=\frac{P_y-Q_x}{Q} \Rightarrow \frac{dF}{F} =\frac{P_y-Q_x}{Q}dx \)

양변을 적분하면,

$$\int \frac{dF}{F}= \int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx \Rightarrow$$

$$ ln|F|=\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx = \int R(x)dx$$

$$즉, F=F(x)=e^{\int R dx}=e^{\int \frac{P_y-Q_x}{Q}dx} $$

 

여기서, 주목해야할 점은 

$$R=R(x)$$

이어야 적분이 성립된다.

\(R \neq R(x)\)라면 ② 방법을 사용한다.

 

② \(F=F(y) \Rightarrow F_x=0 \Rightarrow F_yP+FP_y=FQ_x \Rightarrow \frac{F_y}{F}=\frac{Q_x-P_y}{P} \Rightarrow \frac{dF}{F} =\frac{Q_x-P_y}{P}dy \)

양변을 적분하면,

$$\int \frac{dF}{F}= \int \frac{Q_x-P_y}{P}dy \Rightarrow$$

$$ ln|F|=\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy = \int R^*(y)dy$$

$$즉, F=F(y)=e^{\int R^* dy}=e^{\int \frac{Q_x-P_y}{P}dy} $$

 

여기서, 주목해야할 점은

$$R^*=R^*(y)$$

이어야 적분이 성립된다.

 

※ \(R=R(x,y)\) 다변수로 나오면 완전미방으로 해 못구함

 

-다음 글

physical-world.tistory.com/13

Linear ODE (선형 미분방정식 제차,비제차) Ch1.5