Bernouli equation (베르누이 방정식) Ch1.5

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Linear ODE (선형 미분방정식 제차,비제차) Ch1.5

Bernouli equation (베르누이 방정식) Ch1.5

다음과 같은 방정식을 베르누이 방정식이라 한다.

$$y^{\prime }+p(x)y=g(x)y^a(a\in \mathbb{R})$$

 

방정식을 세 가지로 분류할 수 있다.

① $a=0\Rightarrow y^{\prime }+p(x)y=g(x)$ : Linear ODE >> 공식 활용

 

② $a=1\Rightarrow y^{\prime }+(p(x)-g(x))y=0$ : Linear & Homogeneous >> 변수 분리법

 

③ $a\ne 0,1$ : Nonlinear(비선형 $\because$ 상수항, y의 일차식이 아님)

$$\Rightarrow reductiontolinearform$$

다음과 같은 기법을 사용한다.

$$u=y^{1-a}$$

$$\Rightarrow u^{\prime }=(1-a)y^{-a}{y}^{\prime }$$

베르누이 방정식에서 양변에 $y^{-a}$을 곱한다.

$$y^{-a}{y}^{\prime }+p(x)y^{1-a}=g(x)$$

$$\Rightarrow \frac{u^{\prime }}{1-a}+p(x)u=g(x)$$

$$\Rightarrow u^{\prime }+(1-a)pu=(1-a)g$$

위와 같은 선형 ODE로 바뀌었다. 이제 Linear ODE의 해 공식을 활용해서 풀면된다.

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Linear ODE (선형 미분방정식 제차,비제차) Ch1.5

이전 글에 내용이 포함되어 있다.

 

베르누이 방정식은 엄밀히는 비선형 미분방정식이다. 

하지만, $u=y^{1-a}$치환을 이용하면,

$$y^{\prime }+p(x)y=g(x)y^a\Rightarrow u^{\prime }+(1-a)pu=(1-a)g$$

선형 미분방정식으로 변환할 수있다.

 

※공학수학 시험에서는, 비선형 꼴이 있다면 베르누이 아니면 완전미방 꼴이 대부분이다. 

 

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