Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7

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Bernouli equation (베르누이 방정식) Ch1.5

Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7

초기값까지 주어져야 해의 존재성과 유일성을 논할 수 있다.

다음과 같은 일계 미분방정식의 초기 값 문제가 있다고 하자.

 

$$y^{\prime }=f(x,y),y(x_0)=y_0$$

• 정리1.존재성 정리(Existence Theorem)

 

영역$R:|x-x_0|<a,|y-y_0|<b$에 대해

$$f(x,y):영역R에서연속이고$$

어떤 상수 $K$에 대해 다음과 같이 bounded되어 있을 때,

$$|f(x,y)|\le K,\mathrm{\forall }(x,y)\in R$$

$$\Rightarrow y(x)은적어도하나의해를갖는다$$

$\mathrm{\forall }x\in [x_0-\alpha ,x_0+\alpha ]with\alpha =min(a,\frac{b}{K})$

 

• 정리2.유일성 정리(Uniqueness Theorem)

영역$R:|x-x_0|<a,|y-y_0|<b$에 대해

$$f,f_y:영역R에서연속이고$$

어떤 상수 $K,M$에 대해 다음과 같이 bounded되어 있을 때,

$$f(x,y)\le K,|f_y(x.y)|\le M,\mathrm{\forall }(x,y)\in R$$

$$\Rightarrow y(x)은유일한해를갖는다$$

$\mathrm{\forall }x\in [x_0-\alpha ,x_0+\alpha ]with\alpha =min(a,\frac{b}{K})$

 

예제를 통해, 유일성 정리를 적용해보자.

ex)초기값 문제

 

$$y^{\prime }=1+y^2=f(x,y),y(0)=0$$

$(x_0,y_0)=(0,0)$을 포함하는 범위 $R$을 다음과 같이 잡아보자.

$$R:|x|<5,|y|<3\Rightarrow a=5,b=3$$

그리고 $f,f_y$범위에 대해 조사한다.

$$|f(x,y)|=|1+y^2|\le K=10,|f_y|=2|y|\le M=6\Rightarrow bounded$$

$$\therefore \alpha =min(a=5,\frac{b}{K}=0.3)=0.3$$

$$\mathrm{\forall }x\in [0-\alpha ,0+\alpha ]=[-0.3,+0.3]$$

본 초기값 문제의 해는 $y=tanx$인데, $tanx$은 

$$x\in [-\frac{\pi }{2},+\frac{\pi }{2}]에서연속이므로정리가성립한다.$$

 

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