Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7

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Bernouli equation (베르누이 방정식) Ch1.5

Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7

초기값까지 주어져야 해의 존재성과 유일성을 논할 수 있다.

다음과 같은 일계 미분방정식의 초기 값 문제가 있다고 하자.

 

$$y'=f(x,y),\; y(x_0)=y_0$$

• 정리1.존재성 정리(Existence Theorem)

 

영역\(R:|x-x_0|<a,\;|y-y_0|<b\)에 대해

$$f(x,y):영역 R에서 \;연속이고$$

어떤 상수 \(K\)에 대해 다음과 같이 bounded되어 있을 때,

$$|f(x,y)|\leq K,\; \forall (x,y)\in R$$

$$\Rightarrow y(x)은\; 적어도\; 하나의\; 해를\; 갖는다$$

\(\forall x \in[x_0-\alpha,x_0+\alpha] \;with\; \alpha=min(a,\frac{b}{K})\)

 

• 정리2.유일성 정리(Uniqueness Theorem)

영역\(R:|x-x_0|<a,\;|y-y_0|<b\)에 대해

$$f,f_y: 영역 R에서 \;연속이고$$

어떤 상수 \(K,M\)에 대해 다음과 같이 bounded되어 있을 때,

$$f(x,y)\leq K,\;|f_y(x.y)|\leq M,\;\forall (x,y)\in R$$

$$\Rightarrow y(x)은\; 유일한\; 해를\; 갖는다$$

\(\forall x \in[x_0-\alpha,x_0+\alpha] \;with\; \alpha=min(a,\frac{b}{K})\)

 

예제를 통해, 유일성 정리를 적용해보자.

ex)초기값 문제

 

$$y'=1+y^2=f(x,y),\; y(0)=0$$

\((x_0,y_0)=(0,0)\)을 포함하는 범위 \(R\)을 다음과 같이 잡아보자.

$$R:\; |x|<5,\: |y|<3 \Rightarrow a=5,b=3$$

그리고 \(f,f_y\)범위에 대해 조사한다.

$$|f(x,y)|=|1+y^2| \leq K=10, \; |f_y|=2|y| \leq M=6\Rightarrow bounded$$

$$\therefore \alpha=min(a=5,\frac{b}{K}=0.3)=0.3$$

$$\forall x \in[0-\alpha,0+\alpha]=[-0.3,+0.3]$$

본 초기값 문제의 해는 \(y=tanx\)인데, \(tanx\)은 

$$x \in[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]에서\; 연속이므로\; 정리가\; 성립한다.$$

 

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