Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

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Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1

Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

 

멱급수 해법의 이론에 대해 알아보자 - 수렴과 발산, 해의 범위, 해석적 함수.

만약, $x-x_0$의 power로 해를 가정한다면

$$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m$$

$$=\sum _{m=0}^n{a}_m(x-x_0{)}^m+\sum _{m=n+1}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m$$

$$=S_n(x)+R_n(x)$$

여기서 $S_n,R_n$은 부분합(sum)과 나머지(remainder)를 가리킨다.

 

• 멱급수의 수렴과 발산

1. 부분 합에 n을 무한으로 취해서 특정 함수로 정해지면, 수렴

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n(x_1)=S(x_1)$$

$$\Rightarrow \text{수렴}atx=x_1$$

 

2. 정해지지 않으면, 발산

 

 

우리가 다루는 일반적인 멱급수 해법의 $x$ 범위는 세가지 경우이다.

 

• Case 1)

오직 $x=x_0$에 대해 수렴.

 

• Case 2)

$|x-x_0|<R$에 대해 수렴, $|x-x_0|>R$에 대해선 발산.

여기서

$R$은 수렴반경이라 한다.

그리고, $|x-x_0|<R$ 은 수렴구간이라 한다.

 

수렴 반경 구하는 방법( 대학 미적분학에선 5가지 방법이지만, 급수해에 한정해서는 대표적인 2가지)

cf) 대학 미적분학 : 비교 판정법, 적분비교 판정법, 근호(root) 판정법, 비(ratio) 판정법, 극한 비교 판정법.

 

1. 근호(root) 판정법에서의 수렴 반경

$$R=\frac{1}{\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_m{|}^{\frac{1}{m}}}$$

2. 비(ratio) 판정법에서의 수렴 반경

$$R=\frac{1}{\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_{m+1}}{a_m}|}$$

 

• Case 3)

모든 $x$에 대해 수렴.

즉, 모든 $x$에 대해 해가 적용된다.

 

 

• 해석적 함수(Analytic Function)

 어떤 함수 $f(x)$가 $x=x_0$에서 해석적이다, 라는 말은 

특정 수렴반경 $R$을 가지고($x_0-R<x<x_0+R$ )

다음과 같이 표현할 수 있음을 의미한다.

$$f(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m$$

 

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