Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

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Series Solutions of ODEs(급수해 of 상미분방정식)Ch 5.1

Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

 

멱급수 해법의 이론에 대해 알아보자 - 수렴과 발산, 해의 범위, 해석적 함수.

만약, \( x-x_0\)의 power로 해를 가정한다면

$$\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m$$

$$= \sum_{m=0}^{n} a_m(x-x_0)^m + \sum_{m=n+1}^{\infty} a_m(x-x_0)^m$$

$$= S_n(x)+R_n(x)$$

여기서 \(S_n, R_n\)은 부분합(sum)과 나머지(remainder)를 가리킨다.

 

• 멱급수의 수렴과 발산

1. 부분 합에 n을 무한으로 취해서 특정 함수로 정해지면, 수렴

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x_1) = S(x_1) $$

$$\Rightarrow \text{수렴}\; at \; x=x_1 $$

 

2. 정해지지 않으면, 발산

 

 

우리가 다루는 일반적인 멱급수 해법의 \(x\) 범위는 세가지 경우이다.

 

• Case 1)

오직 \(x=x_0\)에 대해 수렴.

 

• Case 2)

\( |x-x_0| < R \)에 대해 수렴, \( |x-x_0| > R \)에 대해선 발산.

여기서

\(R\)은 수렴반경이라 한다.

그리고, \( |x-x_0| < R \) 은 수렴구간이라 한다.

 

수렴 반경 구하는 방법( 대학 미적분학에선 5가지 방법이지만, 급수해에 한정해서는 대표적인 2가지)

cf) 대학 미적분학 : 비교 판정법, 적분비교 판정법, 근호(root) 판정법, 비(ratio) 판정법, 극한 비교 판정법.

 

1. 근호(root) 판정법에서의 수렴 반경

$$R=\frac{1}{\lim_{m \rightarrow \infty} |a_m|^{\frac{1}{m}} } $$

2. 비(ratio) 판정법에서의 수렴 반경

$$R=\frac{1}{\lim_{m \rightarrow \infty} |\frac{a_{m+1}}{a_m} | }$$

 

• Case 3)

모든 \(x\)에 대해 수렴.

즉, 모든 \(x\)에 대해 해가 적용된다.

 

 

• 해석적 함수(Analytic Function)

 어떤 함수 \(f(x)\)가 \( x= x_0\)에서 해석적이다, 라는 말은 

특정 수렴반경 \(R\)을 가지고(\(x_0 - R < x < x_0 + R \) )

다음과 같이 표현할 수 있음을 의미한다.

$$f(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m $$

 

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