Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

 

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Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

$$\text{Existence of Power Series Solution}$$

다음과 같은 상미분방정식의 멱급수 해가 언제 존재(존재성)하는지 알아본다.

$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$

만약,

$$p(x),q(x),r(x) \; analytic \; at \; x=x_0$$

$$\Rightarrow sol:y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m$$

$$단,|x-x_0|<R, R>0$$ 

 

• 해석적이다.

 analytic이란 것은 해석적이라고 번역하는데,

1번, 2번, ... n번 그리고 그 이상까지 \(x=x_0\)에서 미분이 가능하면 

\(\Rightarrow x=x_0 \)에서 해석적이다, 라고 한다.

 

추가적으로 급수해 형태의 미분, 더하기, 곱하기 연산을 어떻게 하는지 알아본다.

$$y(x) \equiv \sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m, |x-x_0|<R$$

 

• 미분

$$\Rightarrow y'(x)=\sum_{m=1}^{\infty} ma_m(x-x_0)^{m-1}$$

$$y''(x)=\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_m(x-x_0)^{m-2}$$

 

• 더하기

Let,

$$f(x)=\sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m,g(x)=\sum_{m=0}^{\infty} b_m(x-x_0)^m$$

$$f(x): |x-x_0|<R_1, g(x):|x-x_0|<R_2$$

$$\Rightarrow f(x)+g(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (a_m+b_m)(x-x_0)^m$$

$$f(x)+g(x):|x-x_0|<min \{ R_1,R_2 \}$$

 

• 곱하기

더하기에서의 \(f(x),g(x)\)을 그대로 사용하면,

$$\Rightarrow f(x)g(x)=\sum_{m=0}^{\infty} (a_0b_m + a_1b_{m-1}+a_2b_{m-2}+\dotsb +a_mb_0)(x-x_0)^m$$

$$|x-x_0|<R$$

show)

$$ \sum_{m=0}^{\infty} a_m(x-x_0)^m \times \sum_{m=0}^{\infty} b_m(x-x_0)^m $$

$$=a_0b_0 + (a_0b_1+a_1b_0)(x-x_0)+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)(x-x_0)^2+(a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0)(x-x_0)^3+ \dotsb $$

$$=\sum_{m=0}^{\infty} (a_0b_m + a_1b_{m-1}+a_2b_{m-2}+\dotsb +a_mb_0)(x-x_0)^m$$

 

여기서 주의할게, \(|x-x_0| \geq min\{ R_1,R_2 \} \) 일 수 있다. 그래서 새로 수렴반경을 구해야 한다.

 

 

ex)

$$f(x)=\frac{1+x}{1-x}, g(x)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} (-x)^n=\frac{1-x}{1+x}$$

$$here, R_1=1, R_2=1$$

$$\Rightarrow f(x)g(x)=\frac{1+x}{1-x} \frac{1-x}{1+x}=1$$

수렴 반경이 둘 다 1이었는데 곱해보니 수렴반경이 \(\infty\)가 됨.

 

 

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