Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

 

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Power Series Method(멱급수 해법)Ch5.1

$$\text{Existence of Power Series Solution}$$

다음과 같은 상미분방정식의 멱급수 해가 언제 존재(존재성)하는지 알아본다.

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)$$

만약,

$$p(x),q(x),r(x)analyticatx=x_0$$

$$\Rightarrow sol:y=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m$$

$$단,|x-x_0|<R,R>0$$ 

 

• 해석적이다.

 analytic이란 것은 해석적이라고 번역하는데,

1번, 2번, ... n번 그리고 그 이상까지 $x=x_0$에서 미분이 가능하면 

$\Rightarrow x=x_0$에서 해석적이다, 라고 한다.

 

추가적으로 급수해 형태의 미분, 더하기, 곱하기 연산을 어떻게 하는지 알아본다.

$$y(x)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m,|x-x_0|<R$$

 

• 미분

$$\Rightarrow y^{\prime }(x)=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}m{a}_m(x-x_0{)}^{m-1}$$

$$y^{″}(x)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}m(m-1)a_m(x-x_0{)}^{m-2}$$

 

• 더하기

Let,

$$f(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m,g(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m(x-x_0{)}^m$$

$$f(x):|x-x_0|<R_1,g(x):|x-x_0|<R_2$$

$$\Rightarrow f(x)+g(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(a_m+b_m)(x-x_0{)}^m$$

$$f(x)+g(x):|x-x_0|<min\{R_1,R_2\}$$

 

• 곱하기

더하기에서의 $f(x),g(x)$을 그대로 사용하면,

$$\Rightarrow f(x)g(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(a_0{b}_m+a_1{b}_{m-1}+a_2{b}_{m-2}+\cdots +a_m{b}_0)(x-x_0{)}^m$$

$$|x-x_0|<R$$

show)

$$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m(x-x_0{)}^m\times \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_m(x-x_0{)}^m$$

$$=a_0{b}_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)(x-x_0)+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)(x-x_0{)}^2+(a_0{b}_3+a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_0)(x-x_0{)}^3+\cdots$$

$$=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(a_0{b}_m+a_1{b}_{m-1}+a_2{b}_{m-2}+\cdots +a_m{b}_0)(x-x_0{)}^m$$

 

여기서 주의할게, $|x-x_0|\ge min\{R_1,R_2\}$ 일 수 있다. 그래서 새로 수렴반경을 구해야 한다.

 

 

ex)

$$f(x)=\frac{1+x}{1-x},g(x)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^n=\frac{1-x}{1+x}$$

$$here,R_1=1,R_2=1$$

$$\Rightarrow f(x)g(x)=\frac{1+x}{1-x}\frac{1-x}{1+x}=1$$

수렴 반경이 둘 다 1이었는데 곱해보니 수렴반경이 $\mathrm{\infty }$가 됨.

 

 

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