Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)

Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식) 

 

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Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

※ n이 짝수  $\to M=\frac{n}{2}$ , n이 홀수  $\to M=\frac{n-1}{2}$

$$P_n(x)=\sum _{m=0}^M\frac{(-1{)}^m(2n-2m)!}{2^{n}m!(n-m)!(n-2m)!}{x}^{n-2m}$$

$$=\frac{1}{2^n}\sum _{m=0}^M(-1{)}^m\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n-2m\\ n\end{array}\right)x^{n-2m}$$ 

 

이전 글에서 구한 르장드르 방정식이다.

 

이 꼴을 Rodrigues의 방식 또는 공식대로 풀어내면 다음과 표시한다.

$$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^2-1{)}^n$$

그리고, power을 잘 볼 수 있는 형태로도 가능하다.

$$P_n(x)=2^n\sum _{m=0}^n{x}^m\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{n+m-1}{2}\\ n\end{array}\right)$$

최고 차항이 n에서 멈추는 것을 알 수 있다.