Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)

Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식) 

 

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Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

※ n이 짝수  \(\rightarrow M=\frac{n}{2}\) , n이 홀수  \(\rightarrow M=\frac{n-1}{2} \)

$$P_n(x)=\sum_{m=0}^M \frac{(-1)^m(2n-2m)!}{2^nm!(n-m)!(n-2m)!}x^{n-2m}$$

$$=\frac{1}{2^n} \sum_{m=0}^M (-1)^m \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2n-2m \\ n \end{pmatrix} x^{n-2m} $$ 

 

이전 글에서 구한 르장드르 방정식이다.

 

이 꼴을 Rodrigues의 방식 또는 공식대로 풀어내면 다음과 표시한다.

$$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

그리고, power을 잘 볼 수 있는 형태로도 가능하다.

$$P_n(x) = 2^n \sum_{m=0}^n x^m \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{n+m-1}{2} \\ n \end{pmatrix} $$

최고 차항이 n에서 멈추는 것을 알 수 있다.