Bessel's Equation, Bessel's Function Ch5.4

Bessel's Equation, Bessel's Function Ch5.4

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Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

$$\text{Bessel's equation}$$

다음과 같은 방정식을 베셀 방정식이라 부른다.

$$x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-{\nu }^2)y=0,(\nu \le 0)$$

$$\Rightarrow y^{″}+\frac{1}{x}{y}^{\prime }+\frac{x^2-{\nu }^2}{x^2}y=0$$

 

$y^{″}+\frac{b(x)}{x}{y}^{\prime }+\frac{c(x)}{x^2}y=0$에서

$$b(x)=1,c(x)=x^2-{\nu }^{2}analyticatx=0$$

 

프로베니우스 해법에 의해 해는

$$y=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^{m+r}$$

※프로베니우스 해법은 이전 글을 참고해주세요.

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Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

 

위 식을 미분방정식에 대입하면,

$$0=[r(r-1)a_0+r{a}_0-{\nu }^2{a}_0]x^r+[(r+1)r{a}_1+(r+1)a_1-{\nu }^2{a}_1]x^{r+1}+\sum _{s=2}^{\mathrm{\infty }}[(s+r)(s+r-1)a_s+(s+r)a_s+a_{s-2}-{\nu }^2{a}_s]x^{s+r}$$

$$\Rightarrow indicialequation:r(r-1)+r-{\nu }^2=0$$

$$\Rightarrow r_1=+\nu ,r_2=-\nu$$

 

$a_1$의 계수를 $r=\nu$을 대입하고 보면,

$$[(\nu +1)\nu +(\nu +1)-{\nu }^2]a_1=0=(2\nu +1)a_1$$

$$\Rightarrow a_1=0(\because \nu \ge 0)$$

 

그리고, 점화식은

$$a_s=\frac{-a_{s-2}}{(s+2\nu )s}$$

$$\Rightarrow a_3=a_5=\cdots =0$$

홀수차 수는 모두 0이 된다.

 

짝수차항만 보기 위해 다음과 같이 표현한다.

$$a_{2m}=\frac{-a_{2m-2}}{(2m+2\nu )2m}=\frac{(-1{)}^m{a}_0}{2^{2m}m!(\nu +1)(\nu +2)\cdots (\nu +m)}$$

 

$$\Rightarrow y_1(x)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2m}{x}^{2m+\nu }=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_0(-1{)}^m{x}^{2m+\nu }}{2^{2m}m!(\nu +1)(\nu +2)\cdots (\nu +m)}\equiv {\mathcal{J}}_{\nu }(x)$$

그리고, 이 베셀함수를 first kind bessel fuction이라고도 한다. second kind는 neumann function이고, 이후에 나온다.

 

$$\text{Bessel Function}:{\mathcal{J}}_{\nu }(x)$$ 

베셀 함수에 대해 알아보자.

 

만약 $\nu$가 정수 $n$이라면,

$${\mathcal{J}}_{\nu }(x)=x^n\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m{x}^{2m}}{2^{2m+n}m!(n+m)!}$$

참고로 정의하기를, $a_0\equiv \frac{1}{2^{n}n!}$

 

다음 글에서 베셀함수의 성질들을 알아보자.