Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

 

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physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

르장드르 방정식과 솔루션인 르장드르 다항식에 대해 알아보자.

 

르장드르 방정식은 구면좌표계와 큰 관련이 있다. 이에 대한 이야기는 글 말단에 하고 르장드르 방정식은 다음과 같다.

 

$$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$$

여기서 $n$은 임의의 상수.

 

$$\Rightarrow y^{″}-\frac{2x}{1-x^2}{y}^{\prime }+\frac{n(n+1)}{1-x^2}y=0$$

 

여기서, 과연 멱급수해가 존재할까?

존재한다. 왜냐하면,

$$-\frac{2x}{1-x^2},\frac{n(n+1)}{1-x^2}analyticatx=0$$

 

해석적이다(analytic)에 대해선 아래 링크 글에 있다.

physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

따라서, 다음과 같이 해를 나타낼 수 있다.

$$\Rightarrow y=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m$$

 

이 $y$를 방정식에 대입하자.

$\Rightarrow (1-x^2)\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}m(m-1)a_m{x}^{m-2}-2x\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}m{a}_m{x}^{m-1}+n(n+1)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m=0$

$\Rightarrow \sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}m(m-1)a_m{x}^{m-2}+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}m(m-1)a_m{x}^m-\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}2m{a}_m{x}^m+n(n+1)\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m=0$

 

여기서 모두 $x^s$ 되도록 조작을 한다. 르장드르 방정식에서는 맨처음항( $m\to s+2$ )만 조작한다.

나머지항( $m\to s$ )

$\Rightarrow \sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}(s+2)(s+1)a_{s+2}{x}^s+\sum _{s=2}^{\mathrm{\infty }}s(s-1)a_s{x}^s-\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}2s{a}_s{x}^s+n(n+1)\sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_s{x}^s=0$

 

$s=0,1,\cdots s$의 점화식(recurrence relation)을 구하자.

① $s=0$ 

$$2a_2+n(n+1)a_0=0$$

② $s=1$

$$(1+2)(1+1)a_3-2a_1+n(n+1)a_1=0$$

$$\Rightarrow 6a_3+[-2+n(n+1)]a_1=0$$

③ $s=s$ 점화식

$$(s+2)(s+1)a_{s+2}-[s(s-1)+2s-n(n+1)]a_2=0$$

$$\Rightarrow a_{s+2}=-\frac{(n-s)(n+s+1)}{(s+2)(s+1)}{a}_s$$

 

점화식을 자세히보면 $s$가 2씩 증가함을 볼 수 있다. 이는 $s$가 홀수끼리, 짝수끼리 관련되어 있다는 것을 알 수 있다. ( $s=0,2,4,6\cdots ,s=1,3,5,6,\cdots$ )

• $s$:짝수

$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2!}{a}_0$$

$$a_4=\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}{a}_0$$

$$a_6=-\frac{(n-4)(n-2)n(n+1)(n+3)(n+5)}{6!}{a}_0$$

$$\cdots$$

• $s$:홀수

$$a_3=-\frac{(n-1)(n-2)}{3!}{a}_1$$

$$a_5=\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}{a}_1$$

$$a_7=-\frac{(n-5)(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)(n+6)}{7!}{a}_1$$

$$\cdots$$

 

이계 상미방이므로 제차해는 두 개가 나와야 한다. 그 두 개는 짝수항, 홀수항이다.

$y_1=1-\frac{n(n+1)}{2!}{x}^2+\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}{x}^4+\cdots$

$y_2=x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}{x}^3+\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}{x}^5+\cdots$

 

주목.

• 두 멱급수의 수렴 구간은 $|x|<1$이다. $\because \frac{2x}{1-x^2},\frac{n(n+1)}{1-x^2}analyticatx=0$

• $y_1,y_2$ 비례하지 않다 $\Rightarrow$ 서로 선형 독립이다.

• $n$이 짝수(even number) → 우함수(even function), $n$이 홀수(odd number) → 기함수(odd function)

 

 

 

 

이 $n$에 따라 나오는 $y_{1}or{y}_2$를 주로 르장드르 방정식 $P_n(x)$로 표기한다.

 

 

최고차항의 계수인 $a_n$을 다음과 같이 잡으면,

$$a_n=\frac{2n!}{2^n(n!{)}^2}=\frac{(2n-1)\cdot (2n-3)\cdots 3\cdot 1}{n!}$$

점화식에 의해

$$a_{n-2m}=(-1{)}^m\frac{(2n-2m)!}{2^{n}m!(n-m)!(n-2m)!}$$

n이 짝수  $\to M=\frac{n}{2}$ , n이 홀수  $\to M=\frac{n-1}{2}$

$$P_n(x)=\sum _{m=0}^M\frac{(-1{)}^m(2n-2m)!}{2^{n}m!(n-m)!(n-2m)!}{x}^{n-2m}$$

$$=\frac{1}{2^n}\sum _{m=0}^M(-1{)}^m\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2n-2m\\ n\end{array}\right)x^{n-2m}$$

 

$$P_0(x)=1$$

$$P_1(x)=x$$

$$P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$$

$$P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}$$

$$P_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}{8}$$

$$P_5(x)=\frac{63x^5-70x^3+15x}{8}$$

 

 

-다음 글(르장드르 방정식의 로드리게스 형태)

physical-world.tistory.com/38

Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)