Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

Legendre's Equation, Polynomials(르장드르 방정식, 다항식)Ch5.2

 

-이전 글

physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

르장드르 방정식과 솔루션인 르장드르 다항식에 대해 알아보자.

 

르장드르 방정식은 구면좌표계와 큰 관련이 있다. 이에 대한 이야기는 글 말단에 하고 르장드르 방정식은 다음과 같다.

 

$$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0$$

여기서 \(n\)은 임의의 상수.

 

$$\Rightarrow y''-\frac{2x}{1-x^2}y'+\frac{n(n+1)}{1-x^2}y=0$$

 

여기서, 과연 멱급수해가 존재할까?

존재한다. 왜냐하면,

$$-\frac{2x}{1-x^2}, \frac{n(n+1)}{1-x^2} \; analytic \; at\; x=0$$

 

해석적이다(analytic)에 대해선 아래 링크 글에 있다.

physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

따라서, 다음과 같이 해를 나타낼 수 있다.

$$\Rightarrow y=\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m$$

 

이 \(y\)를 방정식에 대입하자.

\(\Rightarrow (1-x^2) \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_mx^{m-2}-2x\sum_{m=1}^{\infty} ma_mx^{m-1} +n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m=0\)

\(\Rightarrow  \sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_mx^{m-2}+\sum_{m=2}^{\infty} m(m-1)a_mx^m-\sum_{m=1}^{\infty} 2ma_mx^m +n(n+1)\sum_{m=0}^{\infty} a_mx^m=0\)

 

여기서 모두 \(x^s\) 되도록 조작을 한다. 르장드르 방정식에서는 맨처음항( \(m\rightarrow s+2\) )만 조작한다.

나머지항( \(m \rightarrow s\) )

\(\Rightarrow  \sum_{s=0}^{\infty} (s+2)(s+1)a_{s+2}x^s+\sum_{s=2}^{\infty} s(s-1)a_sx^s-\sum_{s=1}^{\infty} 2sa_sx^s +n(n+1)\sum_{s=0}^{\infty} a_sx^s=0\)

 

\(s=0,1, \cdots s\)의 점화식(recurrence relation)을 구하자.

① \(s=0\) 

$$2a_2+n(n+1)a_0=0$$

② \(s=1\)

$$(1+2)(1+1)a_3-2a_1+n(n+1)a_1=0$$

$$\Rightarrow 6a_3+[-2+n(n+1)]a_1=0$$

③ \(s=s\) 점화식

$$(s+2)(s+1)a_{s+2}-[s(s-1)+2s-n(n+1)]a_2=0$$

$$\Rightarrow a_{s+2}=-\frac{(n-s)(n+s+1)}{(s+2)(s+1)} a_s$$

 

점화식을 자세히보면 \(s\)가 2씩 증가함을 볼 수 있다. 이는 \(s\)가 홀수끼리, 짝수끼리 관련되어 있다는 것을 알 수 있다. ( \( s=0,2,4,6 \cdots , s=1,3,5,6, \cdots \) )

• \(s\):짝수

$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2!}a_0$$

$$a_4=\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!} a_0$$

$$a_6=-\frac{(n-4)(n-2)n(n+1)(n+3)(n+5)}{6!} a_0$$

$$\cdots$$

• \(s\):홀수

$$a_3=-\frac{(n-1)(n-2)}{3!}a_1$$

$$a_5=\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}a_1$$

$$a_7=-\frac{(n-5)(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)(n+6)}{7!} a_1$$

$$\cdots$$

 

이계 상미방이므로 제차해는 두 개가 나와야 한다. 그 두 개는 짝수항, 홀수항이다.

\(y_1=1-\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}x^4+\cdots\)

\(y_2=x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3+\frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}x^5+\cdots\)

 

주목.

• 두 멱급수의 수렴 구간은 \(|x|<1\)이다. \(\because \frac{2x}{1-x^2}, \frac{n(n+1)}{1-x^2} \; analytic \; at\; x=0 \)

• \(y_1,y_2\) 비례하지 않다 \( \Rightarrow\) 서로 선형 독립이다.

• \(n\)이 짝수(even number) → 우함수(even function), \(n\)이 홀수(odd number) → 기함수(odd function)

 

 

 

 

이 \(n\)에 따라 나오는 \(y_1 \; or \; y_2\)를 주로 르장드르 방정식 \(P_n(x)\)로 표기한다.

 

 

최고차항의 계수인 \(a_n\)을 다음과 같이 잡으면,

$$a_n=\frac{2n!}{2^n(n!)^2}=\frac{(2n-1)\cdot(2n-3)\cdots 3\cdot 1}{n!} $$

점화식에 의해

$$a_{n-2m}=(-1)^m\frac{(2n-2m)!}{2^n m!(n-m)!(n-2m)!}$$

n이 짝수  \(\rightarrow M=\frac{n}{2}\) , n이 홀수  \(\rightarrow M=\frac{n-1}{2}\)

$$P_n(x)=\sum_{m=0}^M \frac{(-1)^m(2n-2m)!}{2^nm!(n-m)!(n-2m)!}x^{n-2m}$$

$$=\frac{1}{2^n} \sum_{m=0}^M (-1)^m \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2n-2m \\ n \end{pmatrix} x^{n-2m} $$

 

$$P_0(x)=1$$

$$P_1(x)=x$$

$$P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}$$

$$P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}$$

$$P_4(x)=\frac{35x^4-30x^2+3}{8}$$

$$P_5(x)=\frac{63x^5-70x^3+15x}{8}$$

 

 

-다음 글(르장드르 방정식의 로드리게스 형태)

physical-world.tistory.com/38

Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)