Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 해법)Ch5.3

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Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)

 멱급해 방법와 유사한 프로베니우스(Frobenius) 방법에 대해 알아보자.

$$\text{Theorem 1. Frobenius Method}$$

$$y'' + \frac{b(x)}{x}y' + \frac{c(x)}{x^2} = )$$

위와 같은 미분방정식에서

$$If,b(x),c(x):analytic \; at \; x=0$$

$$\Rightarrow at \; least\; one \; sol, \; y=x^r \sum_{m=o}^{\infty} a_mx^m $$

$$=x^r(a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots ), a_0 \neq 0 $$

and,

$$may\; be \; second \; sol\; x^s \sum_{m=o}^{\infty} a_mx^m$$

$$or \; contain \; logarithmic \;term $$

 

우리말로 쉽게 말하자면,

\(b(x),c(x)\)가 \(x=0\)에서 해석적이라면,

\(y=x^r \sum_{m=o}^{\infty} a_mx^m\)꼴의 해가 적어도 하나 존재.

그리고, 선형독립인 두번째 해는 \(x^r\)이 아닌 \(x^s\)가 곱해진 해의 형태 또는 로그함수가 곱해진 형태일 것.

 

'해석적이다' 관련 글:

physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

베셀 방정식을 보게 되면 Frobenius Method로도 풀 수 있는 형태임을 알 수 있다.

ex) Bessel's equation:

$$y'' + \frac{1}{x}y'+\frac{x^2-\nu^2}{x^2} y =0$$

$$\Rightarrow b(x) = 1,c(x) = x^2 - \nu^2 \; analytic \;  at \; x=0$$

$$\Rightarrow \text{Frobenius method 사용 가능!}$$

 

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