Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 해법)Ch5.3

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Legendre Polynomial with Rodrigues' formula(르장드르 방정식의 로드리게스 공식)

 멱급해 방법와 유사한 프로베니우스(Frobenius) 방법에 대해 알아보자.

$$\text{Theorem 1. Frobenius Method}$$

$$y^{″}+\frac{b(x)}{x}{y}^{\prime }+\frac{c(x)}{x^2}=)$$

위와 같은 미분방정식에서

$$If,b(x),c(x):analyticatx=0$$

$$\Rightarrow atleastonesol,y=x^r\sum _{m=o}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m$$

$$=x^r(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots ),a_0\ne 0$$

and,

$$maybesecondsol{x}^s\sum _{m=o}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m$$

$$orcontainlogarithmicterm$$

 

우리말로 쉽게 말하자면,

$b(x),c(x)$가 $x=0$에서 해석적이라면,

$y=x^r\sum _{m=o}^{\mathrm{\infty }}{a}_m{x}^m$꼴의 해가 적어도 하나 존재.

그리고, 선형독립인 두번째 해는 $x^r$이 아닌 $x^s$가 곱해진 해의 형태 또는 로그함수가 곱해진 형태일 것.

 

'해석적이다' 관련 글:

physical-world.tistory.com/34

Existence of Power Series Solution(멱급수 해의 존재성)Ch5.1

베셀 방정식을 보게 되면 Frobenius Method로도 풀 수 있는 형태임을 알 수 있다.

ex) Bessel's equation:

$$y^{″}+\frac{1}{x}{y}^{\prime }+\frac{x^2-{\nu }^2}{x^2}y=0$$

$$\Rightarrow b(x)=1,c(x)=x^2-{\nu }^{2}analyticatx=0$$

$$\Rightarrow \text{Frobenius method 사용 가능!}$$

 

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