Bessel, Neumann Function(properties,\(Y_\nu (x) \) ) CH5.5

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Bessel's Equation, Bessel's Function Ch5.4

Bessel Function(properties) CH5.5

베셀 함수의 특징들을 알아보자.

$$J_{\nu}(x) \equiv (\frac{x}{2})^\nu \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j! \Gamma(j+\nu+1)} (\frac{x}{2})^{2j}$$

 

정리1. 미분, 점화식

$$(a)[x^{\nu}J_{\nu}(x)]'=x^{\nu}J_{\nu -1}(x) $$

$$(b) [x^{-\nu}J_{\nu}(x)]'=-x^{-\nu}J_{\nu +1}(x)$$

$$(c) J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x} J_{\nu}(x)$$

$$(d) J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x)=2 [J_{\nu}(x)]' $$

 

베셀 방정식의 일반해:

$$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0$$

$$Indicial \; equation:r^2-\nu^2=0$$

 

If, \(\nu\)가 정수가 아니면,

$$J_{\nu}(x), J_{-\nu}(x) \text{are linearly independent}$$

따라서, 

일반해:

$$y=c_1 J_{\nu}(x) + c_2 J_{-\nu}(x)$$

$$for \; x \neq 0$$

 

If \(\nu\)가 정수라면, \(\nu=n\)

\(J_{\nu}(x), J_{-\nu}(x)\)은 선형 종속 관계.

$$\because J_{-n}(x)=(-1)^n J_{n}(x)$$

그렇다면, 또 다른 해는?

$$\Rightarrow Y_{\nu}(x)$$

Second kind of Bessel Function : \(Y_{\nu}(x)\)

= Neumann Function 

$$Y_{\nu}(x) \equiv \frac{J_{\nu}(x) \cos{\nu \pi}-J_{-\nu}(x)}{\sin{\nu \pi}}$$

 

따라서, 베셀 방정식의 일반해:

정리1.

$$y(x)=C_1 J_{\nu}(x) + C_2 Y_{\nu}(x) $$

$$for \; x>0, for \; all \; \nu$$

 

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추가 설명, 그래프.

\(\nu\)가 \(\nu = n = 0,1,2 \cdots \) 일 때, 그래프 개형을 그려보자.

First kind Bessel Function:\(J_{\nu} (x) \)

$$J_{\nu}(x) \equiv (\frac{x}{2})^\nu \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j! \Gamma(j+\nu+1)} (\frac{x}{2})^{2j}$$

베셀 함수(n=0,1,2...)

 

Second kind Bessel Function:\(Y_{\nu}(x)\)

$$ Y_{\nu}(x) \equiv \frac{J_{\nu}(x) \cos{\nu \pi}-J_{-\nu}(x)}{\sin{\nu \pi}}$$

 

추가 : Spherical Bessel function

$$x^2y''+2xy'+(x^2-l(l+1))y=0$$

sol:

$$\Rightarrow j_l(x),n_l(x)$$

$$\begin{cases} j_l(x)=(-x)^l (\frac{1}{x} \frac{d}{dx} )^l \frac{\sin{x}}{x} \\ n_l(x)=-(-x)^l (\frac{1}{x} \frac{d}{dx} )^l \frac{\cos{x}}{x} \end{cases}$$

 

• \(j_l(x)\)

\(\begin{cases} \frac{x^l}{(2l+1)!!} &
 x \rightarrow 0 \\ \frac{\sin(x-\pi l/2)}{x} & x \rightarrow \infty \end{cases}  \)

 

 

• \(n_l(x)\)

 \( \begin{cases} -\frac{(2l-1)!!}{x^{l+1}} & x \rightarrow 0 \\  -\frac{\cos(x-\pi l/2)}{x} & x \rightarrow \infty \end{cases} \)

여기서 보다시피,

\(n_l(x)\)은 x=0에서 irregular 하다.

 

※ Spherical Bessel function vs Bessel function

$$j_l(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+\frac{1}{2}}(x) $$

$$n_l(x)=(-1)^{l+1}\sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-l-\frac{1}{2}}(x)$$

 

그래프:

Spherical Bessel function

 

Spherical Neumann function