Bessel's Equation, Bessel's Function Ch5.4

Bessel's Equation, Bessel's Function Ch5.4

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Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

$$\text{Bessel's equation}$$

다음과 같은 방정식을 베셀 방정식이라 부른다.

$$x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0,(\nu \le 0 )$$

$$\Rightarrow y''+\frac{1}{x}y'+\frac{x^2-\nu^2}{x^2} y =0$$

 

\(y''+\frac{b(x)}{x}y'+\frac{c(x)}{x^2} y =0\)에서

$$b(x)=1,c(x)=x^2-\nu^2 \; analytic \; at \; x=0$$

 

프로베니우스 해법에 의해 해는

$$y= \sum^\infty_{m=0} a_mx^{m+r}$$

※프로베니우스 해법은 이전 글을 참고해주세요.

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Forbenius Method-Extended Power Series Method(프로베니우스 방법)Ch5.3

 

위 식을 미분방정식에 대입하면,

$$0=[r(r-1)a_0+ra_0-\nu^2 a_0]x^r + [(r+1)ra_1 + (r+1)a_1 - \nu^2 a_1]x^{r+1}+\sum^{\infty}_{s=2}[(s+r)(s+r-1)a_s+(s+r)a_s+a_{s-2}-\nu^2 a_s]x^{s+r}$$

$$\Rightarrow indicial \; equation : r(r-1) + r - \nu^2 =0$$

$$\Rightarrow r_1=+\nu,r_2=-\nu$$

 

\(a_1\)의 계수를 \(r=\nu\)을 대입하고 보면,

$$ [(\nu+1)\nu + (\nu+1)-\nu^2]a_1=0=(2\nu+1)a_1$$

$$\Rightarrow a_1=0 (\because \nu \ge 0 )$$

 

그리고, 점화식은

$$a_s=\frac{-a_{s-2}}{(s+2\nu)s}$$

$$\Rightarrow a_3=a_5= \cdots = 0$$

홀수차 수는 모두 0이 된다.

 

짝수차항만 보기 위해 다음과 같이 표현한다.

$$a_{2m}=\frac{-a_{2m-2}}{(2m+2\nu)2m} = \frac{(-1)^ma_0}{2^{2m}m!(\nu+1)(\nu+2)\cdots(\nu+m)} $$

 

$$\Rightarrow y_1(x)=\sum^\infty_{m=0} a_{2m} x^{2m+\nu} =\sum^\infty_{m=0} \frac{a_0 (-1)^m x^{2m+\nu}}{2^{2m}m!(\nu+1)(\nu+2) \cdots (\nu+m)} \equiv \mathcal{J}_\nu(x)$$

그리고, 이 베셀함수를 first kind bessel fuction이라고도 한다. second kind는 neumann function이고, 이후에 나온다.

 

$$\text{Bessel Function}:\mathcal{J}_\nu(x)$$ 

베셀 함수에 대해 알아보자.

 

만약 \(\nu\)가 정수 \(n\)이라면,

$$ \mathcal{J}_\nu (x) = x^n \sum^\infty_{m=0} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+n}m!(n+m)!}$$

참고로 정의하기를, \(a_0 \equiv \frac{1}{2^n n!} \)

 

다음 글에서 베셀함수의 성질들을 알아보자.