Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1

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Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7

Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1

2계 선형 미분방정식의 두가지 종류에 대해 알아보자.

우선, 2계란 영어러 second-order인데 y의 이차 미분까지 포함하고 있는 미분방정식을 뜻한다.

• ①Nonhomogeneous(비제차) second-order linear ODE

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)\ne 0$$

$$초기조건:y(x_0)=K_0,y^{\prime }(x_0)=K_1$$

• ②Homogeneous(제차) second-order linear ODE

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

$$초기조건:y(x_0)=K_0,y^{\prime }(x_0)=K_1$$

 

2계 이상의 미분방정식에서는 중첩의 원리(Superposition Principle)에 대해 알아야한다.

-중첩의 원리:

Homogeneous(제차) second-order linear ODE에서,

$y_1,y_2$가 해일 때,

$$y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$$

도 해이다. 그리고 $c_1,c_2$은 임의의 상수이다.(general solution을 뜻함)

 

proof)

Let,

$y_1,y_2$가 해 일때 $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$로 가정해보자.

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=(c_1{y}_1+c_2{y}_2{)}^{″}+p(c_1{y}_1+c_2{y}_2{)}^{\prime }+q(c_1{y}_1+c_2{y}_2)$$

$$=c_1(y_1^{″}+p{y}_1^{\prime }+q{y}_1)+c_2(y_2^{″}++p{y}_2^{\prime }+q{y}_2)$$

$$=c_{1}0+c_{2}0=0$$

따라서, $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$도 해이다.

 

※ 비제차($r(x)$)항이 없고 더하기와 미분의 순서를 바꿀 수 있기에 중첩의 원리가 성립한다. 예를 들면, 파동 방정식을 구할 때, 모든 진동수의 파동을 중첩해서 일반적인 파동을 나타낼 수 있다.

※ 비제차 문제에서 중첩의 원리를 쓰지 않는 걸 유의하자.

 

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