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Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1 본문
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Existence and Uniqueness(초기값 문제의 해 존재성과 유일성) Ch1.7
초기값까지 주어져야 해의 존재성과 유일성을 논할 수 있다. 다음과 같은 일계 미분방정식의 초기 값 문제가 있다고 하자. $$y'=f(x,y),\; y(x_0)=y_0$$ 정리1.존재성 정리(Existence Theorem) 영역\(R:|x-x_0| $$.
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Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1
2계 선형 미분방정식의 두가지 종류에 대해 알아보자.
우선, 2계란 영어러 second-order인데 y의 이차 미분까지 포함하고 있는 미분방정식을 뜻한다.
- ①Nonhomogeneous(비제차) second-order linear ODE
$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\neq0$$
$$초기 조건:\; y(x_0)=K_0,\;y'(x_0)=K_1$$
- ②Homogeneous(제차) second-order linear ODE
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$
$$초기 조건:\; y(x_0)=K_0,\;y'(x_0)=K_1$$
2계 이상의 미분방정식에서는 중첩의 원리(Superposition Principle)에 대해 알아야한다.
-중첩의 원리:
Homogeneous(제차) second-order linear ODE에서,
\(y_1,y_2\)가 해일 때,
$$y=c_1y_1+c_2y_2$$
도 해이다. 그리고 \(c_1,c_2\)은 임의의 상수이다.(general solution을 뜻함)
proof)
Let,
\(y_1,y_2\)가 해 일때 \(y=c_1y_1+c_2y_2\)로 가정해보자.
$$y''+py'+qy=(c_1y_1+c_2y_2)''+p(c_1y_1+c_2y_2)'+q(c_1y_1+c_2y_2)$$
$$=c_1(y_1''+py_1'+qy_1)+c_2(y_2''++py_2'+qy_2)$$
$$=c_10+c_20=0$$
따라서, \(y=c_1y_1+c_2y_2\)도 해이다.
※ 비제차(\(r(x)\))항이 없고 더하기와 미분의 순서를 바꿀 수 있기에 중첩의 원리가 성립한다. 예를 들면, 파동 방정식을 구할 때, 모든 진동수의 파동을 중첩해서 일반적인 파동을 나타낼 수 있다.
※ 비제차 문제에서 중첩의 원리를 쓰지 않는 걸 유의하자.
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Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1
2계 이상의 미분방정식은 해당하는 \(y_1,y_2\)처럼 해가 두 개이상 존재한다. 여기서 \(y_1,y_2\)의 선형 독립인지 선형 종속인지가 중요하다. 왜 중요한지는 글 하단 부분에서 알 수 있다. 정의: ①선
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