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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6 본문

공학수학(미분방정식)/ODE(이변수미방)

Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

물리영이 2020. 10. 9. 14:24
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Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

다음과 같은 방정식을 Euler-Cauchy equation이라고 부른다. x2y+axy+by=0,a,b: :y=xm y=mxm1,y=m(m1)xm2 방정식에 대입하면, $$m(m-1)x^{m-2}x^2+amx^{m-1..

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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

이계 미분 방정식의 존재성과 유일성 정리에 대해 알아보자.

정리의 순서는 미분방정식의 책마다 다르겠지만, Kreysig 공업수학 책을 기준으로 정리한다.

우선 존재성과 유일성을 판단하기 이전에 초기조건이 있어야 판단이 가능하다.

이계 미분방정식이므로 초기조건이 2개 있어야 한다. 다음과 같다.

y+p(x)y+q(x)y=0

y(x0)=K0,y(x0)=K1

위와 같은 문제를 초기값 문제(IVP: initial value problem)라고 한다.

Theorem 1. IVP에 대한 존재정과 유일성 정리.

y+p(x)y+q(x)y=0

If,

p(x),q(x):onx(a,b),x0(a,b)

onx(a,b)

 

쉽게 말해, 

y+p(x)y+q(x)y=0

에서, p(x),q(x)가 초기값에 해당하는 x에서 연속이면 유일한 해를 가진다. 해가 존재한다는 의미도 당연히 포함되어있다.

 

Theorem 2. Wronskian과 선형 독립과의 관계.

y+p(x)y+q(x)y=0

p(x),q(x)x(a,b)에서 연속이라고 가정하자.(해가 유일하다)

1. 두 해 y1,y2가 선형 종속(dependent) Wronskian(y1,y2)|y1y2y1y2|=y1y2y2y1=0

 

2. If, W(y1,y2)=0onx0(a,b)

W(y1,y2)0forx(a,b) 

쉽게 말해,

구간에서의 한 점에서 Wronskian이 0이라면, 구간 a,b에서 Wronskian이 0이다.

 

2'. 2의 대우 명제.

If, 

x1(a,b)W(y1,y2)0

y1,y2arelinearlyindependent()

 

Theorem 3. 일반해의 존재성.

y+p(x)y+q(x)y=0에서

If,p(x),q(x):onx(a,b)

,x(a,b)

 

Theorem 4. 일반해가 모든 해를 포함한다.

y+p(x)y+q(x)y=0에서

If,p(x),q(x):onx(a,b)

c1y1+c2y2

 

※총 정리해보자면,

y+p(x)y+q(x)y=0에서

p(x),q(x)가 연속이라면,

일반해가 유일하게 존재(정리1)하고, c1y1+c2y2 form이 모든 해(정리4)를 포함한다.

추가적으로, Wronskian(y1,y2)(정리3)으로 선형 독립성을 판단할 수 있다.

 

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Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

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