Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

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Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1

Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

2계 이상의 미분방정식은 해당하는 $y_1,y_2$처럼 해가 두 개이상 존재한다.

여기서 $y_1,y_2$의 선형 독립인지 선형 종속인지가 중요하다.

왜 중요한지는 글 하단 부분에서 알 수 있다.

 

정의:

• ①선형 독립(linearly independent)

어떤 상수에 $c_1{c}_2$에 대해

$$c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)=0$$

을 만족하는 해가 다음과 같다면

$$\Rightarrow 오직c_1=0=c_2$$

해 $y_1,y_2$가 선형 독립 관계이다

 

• ②선형 종속(linearly dependent)

어떤 상수에 $c_1,c_2$에 대해

을 만족하는 해가 다음과 같다면

$$\Rightarrow c_1\ne 0or{c}_2\ne 0$$

해 $y_1,y_2$가 선형 종속 관계이다

 

• ③일반해(general solution)

만약 2계 미분방정식에 대해 $y_1,y_2$가 해 & 선형 독립 관계

$$\Rightarrow Generalsolution:y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$$

$$단,c_1,c_2은임의의상수$$

여기서,

$$y_1,y_2를기저(basis)$$

라고 한다.

 

• ④특수해(particular solution)

일반해($y=c_1{y}_1+c_2{y}_2$)에서 $c_1,c_2$가 정해진 해.

 

• 계수 감소법(Reduction of order)

계수 감소법은 2계 제차미분방정식$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$

을 만족하는 해 한 개($y_1$)를 알고 있을 때,

나머지 해 $y_2$를 구하는 방법이다.

결론부터 말하자면,

$$y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}dx$$이다.

 

proof)$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$에서

Let,

$$y_2=u{y}_1$$

$$y_2^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime },y_2^{″}=u^{″}{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{″}$$

$$\Rightarrow (u^{″}{y}_1+2u^{\prime }{y}_1^{\prime }+u{y}_1^{″})+p(u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime })+qu{y}_1$$

$$=u^{″}{y}_1+u^{\prime }(2y_1^{\prime }+p{y}_1)+u(y_1^{″}+p{y}_1^{\prime }+q{y}_1)$$

$$=u^{″}{y}_1+u^{\prime }(2y_1^{\prime }+p{y}_1)+0=0$$

$U\equiv u^{\prime }$

$$\Rightarrow y_1{U}^{\prime }=-(2y_1^{\prime }+p{y}_1)U$$

$$\Rightarrow \frac{dU}{U}=-(\frac{2y_1^{\prime }}{y_1}+p)dx$$

$$\Rightarrow \int \frac{dU}{U}=-\int (\frac{2y_1^{\prime }}{y_1}+p)dx$$

$$\Rightarrow ln|U|=-2ln|y_1|-\int pdx$$

$$\Rightarrow U=\frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}$$

$u=\int Udx=\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}dx$

$$\Rightarrow y_2=y_{1}u=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}dx$$

 

※계수감소법은 아주 유용하니 시험을 위해선 필수암기 공식이다.

 

ex)

$$(x^2-x)y^{″}-x{y}^{\prime }+y=0$$

이 미분방정식의 해 중 하나는

$y_1=x$이다.

$$Let{y}_2=u{y}_1=ux$$

미분방정식을 일반적인 형태로 고쳐쓰면

$$0=y^{″}-\frac{x}{x(x-1)}{y}^{\prime }+\frac{1}{x(x-1)}y=y^{″}+p{y}^{\prime }+qy$$

공식에 대입해보자.

$$u=\int Udx=\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}dx$$

$$=\int \frac{1}{x^2}{e}^{-\int \frac{-1}{x-1}}dx=\int \frac{x-1}{x^2}dx=ln|x|+\frac{1}{x}$$

$$\Rightarrow y_2=xu=xln|x|+1$$

$$\Rightarrow y_1=x,y_2=xln|x|+1:기저(basis)$$