Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

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Second-Order Linear ODE(2계 선형 미분방정식,중첩의 원리)Ch2.1

Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

2계 이상의 미분방정식은 해당하는 \(y_1,y_2\)처럼 해가 두 개이상 존재한다.

여기서 \(y_1,y_2\)의 선형 독립인지 선형 종속인지가 중요하다.

왜 중요한지는 글 하단 부분에서 알 수 있다.

 

정의:

• ①선형 독립(linearly independent)

어떤 상수에 \(c_1c_2\)에 대해

$$c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=0$$

을 만족하는 해가 다음과 같다면

$$\Rightarrow  오직 c_1=0=c_2$$

해 \(y_1,y_2\)가 선형 독립 관계이다

 

• ②선형 종속(linearly dependent)

어떤 상수에 \(c_1,c_2\)에 대해

을 만족하는 해가 다음과 같다면

$$\Rightarrow c_1\neq0 \;or\;c_2\neq0$$

해 \(y_1,y_2\)가 선형 종속 관계이다

 

• ③일반해(general solution)

만약 2계 미분방정식에 대해 \(y_1,y_2\)가 해 & 선형 독립 관계

$$\Rightarrow General\; solution : y=c_1y_1+c_2y_2$$

$$단, c_1 , c_2은\;임의의\; 상수$$

여기서,

$$y_1,y_2 를\; 기저(basis)$$

라고 한다.

 

• ④특수해(particular solution)

일반해(\(y=c_1y_1+c_2y_2\))에서 \(c_1,c_2\)가 정해진 해.

 

• 계수 감소법(Reduction of order)

계수 감소법은 2계 제차미분방정식\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)

을 만족하는 해 한 개(\(y_1\))를 알고 있을 때,

나머지 해 \(y_2\)를 구하는 방법이다.

결론부터 말하자면,

$$y_2=y_1 \int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx$$이다.

 

proof)\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)에서

Let,

$$y_2=uy_1$$

$$ y_2'=u'y_1+uy_1',y_2''=u''y_1+2u'y_1'+uy_1''$$

$$\Rightarrow (u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+p(u'y_1+uy_1')+quy_1$$

$$=u''y_1+u'(2y_1'+py_1)+u(y_1''+py_1'+qy_1)$$

$$=u''y_1+u'(2y_1'+py_1)+0=0$$

\(U\equiv u'\)

$$\Rightarrow y_1U'=-(2y_1'+py_1)U$$

$$\Rightarrow \frac{dU}{U}=-(\frac{2y_1'}{y_1}+p)dx$$

$$\Rightarrow \int \frac{dU}{U}=-\int (\frac{2y_1'}{y_1}+p)dx$$

$$\Rightarrow ln|U|=-2ln|y_1|-\int p dx$$

$$\Rightarrow U=\frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}$$

\(u=\int U dx=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx\)

$$\Rightarrow y_2=y_1u=y_1 \int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx$$

 

※계수감소법은 아주 유용하니 시험을 위해선 필수암기 공식이다.

 

ex)

$$(x^2-x)y''-xy'+y=0$$

이 미분방정식의 해 중 하나는

\(y_1=x\)이다.

$$Let\; y_2=uy_1=ux$$

미분방정식을 일반적인 형태로 고쳐쓰면

$$0=y''-\frac{x}{x(x-1)}y'+\frac{1}{x(x-1)}y=y''+py'+qy$$

공식에 대입해보자.

$$u=\int U dx=\int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx$$

$$=\int \frac{1}{x^2}e^{- \int \frac{-1}{x-1}}dx=\int \frac{x-1}{x^2}dx=ln|x|+\frac{1}{x}$$

$$\Rightarrow y_2=xu=xln|x|+1$$

$$\Rightarrow y_1=x,y_2=xln|x|+1 : 기저(basis)$$