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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2 본문

공학수학(미분방정식)/ODE(이변수미방)

Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

물리영이 2020. 9. 23. 21:21
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Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

2계 이상의 미분방정식은 해당하는 y1,y2처럼 해가 두 개이상 존재한다. 여기서 y1,y2의 선형 독립인지 선형 종속인지가 중요하다. 왜 중요한지는 글 하단 부분에서 알 수 있다. 정의: ①선

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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

2계 미방부터는 해법이 간단하지 않다. 따라서, 다음과 같은 간단한 상수계수 제차2계미분방정식에 대해 알아본다.

y+ay+by=r(x)

제차 : r(x)=0

y+ay+by=0

 

미분해서 상수만 튀어나오는 함수는 대표적으로 지수함수 ex가 있다.

:y=eλx

λ2eλx+aλeλx+beλx=0

eλx(λ2+aλ+b)=0

eλx0

λ2+aλ+b=0:

Characteristic equation(특성방정식) : λ2+aλ+b=0

 

상수계수의 미방은 특성방정식의 근을 먼저 구한다.

그리고 이차방정식이기에 두 실근, 중근, 두 허근으로 해 종류를  세가지로 나눌 수 있다.

 

①서로 다른 두 실근(λ=λ1,λ2)

sol:

y1=eλ1x,y2=eλ2x:

:y=c1eλ1x+c2eλ2x

 

ex)

y+y2y=0,y(0)=4,y(0)=5

sol:

λ2+λ2=0λ=1,2

y=c1ex+c2e2x

초기 조건 사용

y(0)=4c1+c2=4

y(0)=5c12c2=5

c1=1,c2=3

y=ex+3e2x

 

② 실수인 중근( λ=a2)

y+ay+a24=0

λ2+aλ+a24=0

λ=a2

y1=ea2x

y2=??

 

기법: y2=uy1, 계수 감소법 사용

계수 감소법 설명 링크: physical-world.tistory.com/17

u=1y12epdxdx

=eadx(ea2x)2dx=eaxeaxdx=x

y2=xea2x

y1=ea2,y2=xea2y1,y2:

최종적으로, 중첩의 원리를 이용하여

:y=c1ea2+c2xea2

 

ex)

y+6y+9y=0

특성방정식(Characteristic equation): λ2+6λ+9=0

double root : λ=3

y=(c1+c2x)e3x

 

comment: 본 미방에서 특성방정식의 해가 중근일 때, 지수함수 꼴(y1)에 x만 곱하면 y2가 된다.

그리고, 이 x는 계수 감소법으로 부터 유도할 수 있다. 

 

③ 두 허근

λ2+aλ+b=0,D()=a24b<0

근의 공식을 사용하면,

λ=a±a24b2=a±i4ba22

Let,w=4ba22

λ1=a2+iw,λ2=a2iw

y1=ea2xe+iw,y2=ea2xeiw

:y=c1e(a2+iw)x+c2e(a2iw)x

근데 만약 복소수 형태가아닌 실수 형태의 일반해를 갖고 싶다면,

위의 두 해를 적절히 선형결합(스칼라 곱해서 더하기) 하면된다.

Let,y1+y22=ea2xcoswx,y1+y22i=ea2xsinwx

:y=c1ea2coswx+c2ea2sinwx

 

ex)

y+0.4y+9.04y=0

특성방정식 : λ2+0.4λ+9.04λ=0 λ=0.2±3i

:y=c1e0.2xcos3x+c2e0.2xsin3x

또는,

:y=c1e(0.2+i3)x+c2e(0.2i3)x

 

comment : 실제 물리현상은 실수 값이 중요하다. 하지만, 물리적 해석방법에 따라 복소수를 고려해야 편한 경우도 있기에 미방의 상황 또는 물리적 시스템에 따라 일반해 종류를 적절히 고른다.

 

정리해보자면,

이계 선형 계수 미방에 대해 알아보았다.

다음과 같은 미방에서

y+ay+b=0

특성 방정식 λ2+aλ+b=0을 근의 공식으로 해를 구해서 일반해를 찾는다.

근이 두 개이면, 각각이 basis가 되고

근이 한 개(중근)이면, y1x을 곱하여 y2을 완성해 basis가 된다.

x의 원천은 계수 감소법이다. 

 

Tip: 중학교부터 배우는 판별식 D=a24b의 부호를 먼저 알고 어떻게 해를 꾸려갈지 생각해보는 것도 팁이다.

 

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