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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2 본문
Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2
물리영이 2020. 9. 23. 21:21-이전 글
Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1
2계 이상의 미분방정식은 해당하는
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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2
2계 미방부터는 해법이 간단하지 않다. 따라서, 다음과 같은 간단한 상수계수 제차2계미분방정식에 대해 알아본다.
제차 :
미분해서 상수만 튀어나오는 함수는 대표적으로 지수함수
Characteristic equation(특성방정식) :
상수계수의 미방은 특성방정식의 근을 먼저 구한다.
그리고 이차방정식이기에 두 실근, 중근, 두 허근으로 해 종류를 세가지로 나눌 수 있다.
①서로 다른 두 실근(
sol:
ex)
sol:
초기 조건 사용
② 실수인 중근(
기법:
계수 감소법 설명 링크: physical-world.tistory.com/17
최종적으로, 중첩의 원리를 이용하여
ex)
특성방정식(Characteristic equation):
double root :
comment: 본 미방에서 특성방정식의 해가 중근일 때, 지수함수 꼴(
그리고, 이
③ 두 허근
근의 공식을 사용하면,
근데 만약 복소수 형태가아닌 실수 형태의 일반해를 갖고 싶다면,
위의 두 해를 적절히 선형결합(스칼라 곱해서 더하기) 하면된다.
ex)
특성방정식 :
또는,
comment : 실제 물리현상은 실수 값이 중요하다. 하지만, 물리적 해석방법에 따라 복소수를 고려해야 편한 경우도 있기에 미방의 상황 또는 물리적 시스템에 따라 일반해 종류를 적절히 고른다.
정리해보자면,
이계 선형 계수 미방에 대해 알아보았다.
다음과 같은 미방에서
특성 방정식
근이 두 개이면, 각각이 basis가 되고
근이 한 개(중근)이면,
이
Tip: 중학교부터 배우는 판별식
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Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5
다음과 같은 방정식을 Euler-Cauchy equation이라고 부른다.
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