Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y^{\prime }=r(x)\ne 0$$

위 와 같은 미분방정식을 이계 비제차 미분방정식이라 한다.

이계 : 최대 미분이 2번

비제차(nonhomongeneous) : $r(x)\ne 0$

제차(homogeneous) : $r(x)=0$

 

해에 대한 정의:

우선 제차해를 $y_h$로 정의한다

이계 제차 미방:$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y^{\prime }=0$

$$y_h\equiv y_1,y_2$$

$$\Rightarrow y_h=c_1{y}_1+c_2{y}_2$$

비제차 해는 $y_p$

이계 비제차 미방:$y^{″}+p(x)y+q(x)y^{\prime }=r(x)$

 

• General solution(일반해)

$$sol:y=y_h+y_p$$

$$\Rightarrow y=(c_1{y}_1+c_2{y}_2)+y_p$$

 

• Particular solution(특수해)

$$sol:y=(c_1{y}_1+c_2{y}_2)+y_p$$ 

에서 $c_1,c_2$가 결정된 해.

 

Theorem 1. 비제차 해와 제차해의 관계

1. 비제차 해 + 제차 해 =비제차 해

2. 비제차 해 - 또 다른 비제차 해 =제차 해

 

Theorem 2. 해의 존재성

$$p(x),q(x),r(x):연속$$

$$\Rightarrow 특수해존재$$

 

비제차 해를 구하는 방법

>>Method of Undetermined Coefficients

(a) Basic Choice rules for $y_p$

 

$r(x)$	$y_p(x)$
$k{e}^{mx}$	$K{e}^{mx}$
$k{x}^n(n=0,1,\cdots )$	$K_n{x}^n+K_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_0$
$kcosws,ksinwx$	$K_{1}coswx+K_{2}sinwx$
$k{e}^{ax}coswx,k{e}^{ax}sinwx$	$e^{ax}(K_{1}coswx+K_{1}sinwx)$

 

(b) Modification rule:

$$\times x,\times x^2,\times x^3,\cdots$$

 

(c) Sum rule:

비제차 항을 분리해서 따로 구해서 더할 수 있다.

$$r(x)=r_1(x)+r_2(x)으로분리$$

$$\Rightarrow y_p=(y_p{)}_1+(y_p{)}_2$$

 

위의 (a),(b),(c)을 각각 활용한 예제 3개 알아보자.

ex1)

$$y^{″}+y=0.001x^2,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1.5$$

 

step1) 상수 계수 미분방정식

$$y^{″}+y=0\Rightarrow y_h=Acosx+Bsinx$$

step2) (a) 사용

$$y_p\equiv K_2{x}^2+K_{1}x+K_0$$

$$\Rightarrow (2K_2)+(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0)=0.001x^2\Rightarrow y_p=0.001x^2-0.002$$

step3)

$$y=y_h+y_p=Acosx+Bsinx+0.001x^2-0.002$$

$$I.C.\Rightarrow 0=y(0)=A-0.002,1.5=y^{\prime }(0)=B$$

answer:

$$y=0.002cosx+1.5sinx+0.001x^2-0.002$$

 

ex2)

$$y^{″}+3y^{\prime }+2.25y=-10e^{-1.5x},y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$$

step1) by 상수 계수 미분 방정식의 특성방정식

$${\lambda }^2+3\lambda +{1.5}^2=0\Rightarrow y_h=(c_1+c_2)e^{-1.5x}$$

step2) (b) 사용

$$y_p\equiv C{x}^2{e}^{-1.5}$$

$$\Rightarrow [(-{1.5}^2{x}^2-3x-3x+2)+3(2x-1.5x^2)+2.25x^2]C{e}^{-1.5x}=-10e^{-1.5x}$$

$$\Rightarrow y_p=-5x^2{e}^{-1.5x}$$

step3) 초기값 적용

$$y=(c_1+c_{2}x-5x^2)e^{-1.5x}$$

$$1=y(0)=c_1,0=y^{\prime }(0)=c_2-1.5c_1$$

$$\Rightarrow y=(1+1.5x-5x^2)e^{-1.5x}$$

 

ex3)

$$y^{″}+2y^{\prime }+0.75y=2cosx-0.25sinx+0.09x,y(0)=2.78,y^{\prime }(0)=-0.43$$

step1) by 상수 계수 미분방정식의 특성방정식

$${\lambda }^2+2\lambda +0.75=(\lambda +0.5)(\lambda +1.5)=0$$

$$\Rightarrow y_h=c_1{e}^{-0.5x}+c_2{e}^{-1.5x}$$

step2) (c) 사용

$$(y_p{)}_1=Kcosx+Msinx,(y_p{)}_2=K_{1}x+K_0$$

각각, 미분 방정식에 대입해서 구해보면,

$$\Rightarrow K=0,M=1,K_1=\frac{9}{75},K_0=-\frac{24}{75}$$

$$\Rightarrow y_p=sinx+\frac{9}{75}x-\frac{24}{75}$$

step3) 초기값 적용

$$y=y_h+y_p=c_1{e}^{-0.5x}+c_2{e}^{-1.5x}+sinx+\frac{9}{75}-\frac{24}{75}$$

$$2.78=y(0)=c_1+c_2-\frac{24}{75},-0.43=y^{\prime }(0)=-0.5c_1-1.5c_2+1+\frac{9}{75}$$

$$\Rightarrow c_1=3.1,c_2=0$$

$$\Rightarrow y=3.1e^{-0.5x}+sinx+0.12x-0.32$$

 

※정리해보자면,

비제차, 제차 항을 분리해서 미방의 해를 구하며 비제차$r(x)$의 꼴에 따라 $y_p(x)$모양을 선택한다.

$y_p(x)$모양을 선택하는데는 (a),(b),(c) rule을 가지고 선택한다.

조금 노가다적인 측면이 있지만, 정석적인 방법이기도 하다.

 

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