Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

다음과 같은 비제차 이계 미방의 해를 구하고 있다.

$$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=r(x)\ne 0$$

이전 글에서 사용한 

(a) Basic choice rules, (b) Modification rule, (c) Sum rule 을 이용한 $y_p$구하기는 복잡하고, 구해지지 않을 수도 있다.

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Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

이번엔 보다 $y_p$을 보다 일반적인 방법으로 구해보자.

가정하기를,

$$y_p=u(x)y_1+v(x)y_2$$

여기서, $u(x),v(x)$을 찾는 것이 관건이다.

$$y_h^{″}+p(x)y_h^{\prime }+q(x)y_h=0,y_h=c_1{y}_1+c_2{y}_2$$이고,

$$y_p^{\prime }=u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{\prime }+v^{\prime }{y}_2+v{y}_2^{\prime }$$

여기서,

$$u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2\equiv 0$$

$$\Rightarrow y_p^{\prime }=u{y}_1+v{y}_2^{\prime }$$

$$y_p^{″}=(u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{″})+(v^{\prime }{y}_2^{\prime }+v{y}_2^{″})$$

기존 미분방정식에 대입하면

$$(u^{\prime }{y}_1+u{y}_1^{″}+v^{\prime }{y}_2^{\prime }+v{y}_2^{″})+p(u{y}_1^{\prime }+v{y}_2^{\prime })+q(u{y}_1+v{y}_2)$$

$$=u(y_1^{″}+p{y}_1+q{y}_1)+v(y_2^{″}+p{y}_2^{\prime }+q{y}_2)+u^{\prime }{y}_1^{\prime }+v^{\prime }{y}_2^{\prime }$$

$y_1,y_2$가 제차해이므로,

$$=u\times 0+v\times 0+u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2^{\prime }=r(x)$$

$$\Rightarrow u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2^{\prime }=r(x)$$

 

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{u}^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2=0\\ u^{\prime }{y}_1+v^{\prime }{y}_2^{\prime }=r\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{u}^{\prime }(y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime })=-y_{2}r\\ v^{\prime }(y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime })=y_{1}r\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{u}^{\prime }W=-y_{2}r\\ v^{\prime }W=y_{1}r\end{array}$$

$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}u(x)=-\int \frac{y_{2}r}{W}dx\\ v(x)=\int \frac{y_{1}r}{W}dx\end{array}$$

$u,v$는 x만의 함수이어야하고, 결론적으로 특수해 $y_p$는

$$y_p=u{y}_1+v{y}_2=-y_1\int \frac{y_{2}r}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}r}{W}dx$$

 

※코멘트

W=$Wronskian=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }$

가 정의되기 위해선 제차해인 $y_1,y_2$가 당연히 미분 가능해야한다.

일반적인 방법이므로, 모든 이계 비제차 미분방정식에 적용가능하다. 

 

당신이 시험을 준비한다면 필수암기 공식이다.

$$y_p=u{y}_1+v{y}_2=-y_1\int \frac{y_{2}r}{W}dx+y_2\int y_{1}rWdx$$

 

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)