Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

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Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6

Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

다음과 같은 비제차 이계 미방의 해를 구하고 있다.

$$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\neq0$$

이전 글에서 사용한 

(a) Basic choice rules, (b) Modification rule, (c) Sum rule 을 이용한 \(y_p\)구하기는 복잡하고, 구해지지 않을 수도 있다.

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Nonhomogeneous ODEs(이계 비제차 미분방정식) Ch2.7

이번엔 보다 \(y_p\)을 보다 일반적인 방법으로 구해보자.

가정하기를,

$$y_p=u(x)y_1+v(x)y_2$$

여기서, \(u(x),v(x)\)을 찾는 것이 관건이다.

$$y_h''+p(x)y_h'+q(x)y_h=0, y_h=c_1y_1+c_2y_2$$이고,

$$y_p'=u'y_1+uy_1'+v'y_2+vy_2'$$

여기서,

$$u'y_1+v'y_2\equiv 0$$

$$\Rightarrow y_p'=uy_1+vy_2'$$

$$y_p''=(u'y_1+uy_1'')+(v'y_2'+vy_2'')$$

기존 미분방정식에 대입하면

$$(u'y_1+uy_1''+v'y_2'+vy_2'')+p(uy_1'+vy_2')+q(uy_1+vy_2)$$

$$=u(y_1''+py_1+qy_1)+v(y_2''+py_2'+qy_2)+u'y_1'+v'y_2'$$

\(y_1,y_2\)가 제차해이므로,

$$=u \times 0+ v \times 0+u'y_1+v'y_2'=r(x)$$

$$\Rightarrow u'y_1+v'y_2'=r(x)$$

 

$$\Rightarrow \begin{cases} u'y_1+v'y_2=0  \\ u'y_1+v'y_2'=r \end{cases}$$

$$\Rightarrow \begin{cases} u'(y_1y_2'-y_2y_1')=-y_2r \\ v'(y_1y_2'-y_2y_1')=y_1r \end{cases}$$

$$\Rightarrow \begin{cases} u'W=-y_2r \\ v'W=y_1r \end{cases}$$

$$\Rightarrow \begin{cases} u(x)=-\int \frac{y_2 r}{W}dx \\ v(x)=\int \frac{y_1 r}{W}dx \end{cases}$$

\(u,v\)는 x만의 함수이어야하고, 결론적으로 특수해 \(y_p\)는

$$y_p=uy_1+vy_2=-y_1\int \frac{y_2r}{W}dx+y_2\int\frac{y_1r}{W}dx$$

 

※코멘트

W=\(Wronskian=\begin{vmatrix}y_1&y_2\\y_1'&y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1'\)

가 정의되기 위해선 제차해인 \(y_1,y_2\)가 당연히 미분 가능해야한다.

일반적인 방법이므로, 모든 이계 비제차 미분방정식에 적용가능하다. 

 

당신이 시험을 준비한다면 필수암기 공식이다.

$$y_p=uy_1+vy_2=-y_1\int \frac{y_2r}{W}dx+y_2\int{y_1r}{W}dx$$

 

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연립상미분방정식Ch4(Systems of ODEs)