Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

다음과 같은 방정식을 Euler-Cauchy equation이라고 부른다.

$$x^2y''+axy'+by=0, \: a,b:상수$$

$$기법:y=x^m$$

$$\Rightarrow y'=mx^{m-1},y''=m(m-1)x^{m-2}$$

방정식에 대입하면,

$$m(m-1)x^{m-2}x^2+amx^{m-1}x+bx^m=0$$

$$ \Rightarrow m(m-1)^2x^m+amx^m+bx^m=0$$

$$x^m \neq0$$

$$\Rightarrow m(m-1)+am+b=m^2+(a-1)m+b=0$$

다음과 같은 방정식을 얻어낼 수 있다.

그리고 이 방정식의 해가 \(m_1,m_2\)라면, \(y_1=x^{m_1},y_2=x^{m_2}\)이다.

이차방정식이므로 당연히, 세가지 경우로 나눌 수 있다.

두 실근, 중근, 두 허근.

 

① 두 실근(\(m=m_1,m_2\))

중첩의 원리에 의해 일반해는

$$y=c_1x^{m_1}+c_2x^{m_2}$$

 

②중근( \(m_1=m_2=\frac{1-a}{2}\) )

중근이므로 앞선 상수계수 미분방정식과 유사하게,

계수 감소법(Reduction of order)을 이용하여 \(y_2\)을 구한다.

참고:

https://physical-world.tistory.com/17

Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

$$y_1=x^{\frac{1-a}{2}},y_2=uy_1$$

오일러 코시방정식의 꼴을 바꿔보면

$$y''+\frac{a}{x}y'+\frac{b}{x^2}y=0$$

계수감소법에 의해, 

$$y_2=y_1 \int \frac{1}{y_1^2}e^{-\int p dx}dx$$

$$u=\int\frac{1}{x^{(\frac{1-a}{2})2}}e^{-\int\frac{a}{x} dx}dx=\int\frac{e^{-alnx}}{x^{1-a}}dx=lnx$$

일반해는

$$y=(c_1+c_2lnx)x^{\frac{1-a}{2}}$$

여기서 \(m= \frac{1-a}{2} \)는 암기하려면 어려울 수 있으니, m에 대한 이차방정식에서 중근을 직접구하면 된다.

 

③두 허근(\(m=\frac{1-a}{2} \pm wi\))

m에 대한 이차방정식에서 두 허근을 근의공식으로 구하면 위와 같다.

일반해는

$$y=c_1x^{\frac{1-a}{2}+wi}+c_2x^{\frac{1-a}{2}-wi}$$

위 일반해는 엄밀히 복소수 일반해이다.

 

여기서 선형결합으로 해를 조작해주면,

$$y_1,y_2=x^{\frac{1-a}{2}}x^{\pm wi}=x^{\frac{1-a}{2}}e^{\pm wi lnx}$$

\( e^{iwlnx}=cos(wlnx)+isin(wlnx)\)이므로

$$\frac{y_1+y_2}{2}=x^{\frac{1-a}{2}}cos(wlnx)$$

$$\frac{y_1+y_2}{2i}=x^{\frac{1-a}{2}}sin(wlnx)$$

이 두 식이 또한 독립이 되므로

실수 일반해는

$$y=x^{\frac{1-a}{2}}[c_1cos(wlnx)+c_2sin(wlnx)]$$

이다.

 

2계 상수 미분방정식처럼,

복소수가 유용한지, 실수가 유용한지는 초기조건 또는 미분방정식마다 다르므로 적절히 선택해야한다.

참고: 2계 상수 미방

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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

 

※ \(x^2y''+axy'+by=0\) 꼴을 기억하는 법: 두 번 미분엔 두 번 \(x\)곱, 한 번 미분엔 한 번 \(x\)곱, 미분안한 항엔 상수만 있는 꼴이다. 이런 꼴이므로 \(x^m\)기법을 사용할 수 있는 것이다.

 

※ 양자역학 2D free space(V=0)에서 Near field(\(r \to 0\))일 때, 본 공식을 사용한다.

$$r \equiv l \xi $$

$$[\frac{\partial^2}{\partial \xi^2}+\frac{\partial}{\xi \partial \xi}-\frac{m^2}{\xi^2}-\xi^2+2\epsilon]\psi(\xi)=0$$

에서 

\(\xi \to 0\) 일 때, 근사하기를

$$\psi ''+\frac{\psi'}{\xi}-\frac{m^2}{\xi^2}\psi=0 \: for \: Near \: Field$$

$$\Rightarrow \psi(\xi) \thicksim \xi^{|m|}$$

 

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physical-world.tistory.com/22

Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6