Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

Euler-Cauchy equation(오일러-코시 방정식)Ch 2.5

다음과 같은 방정식을 Euler-Cauchy equation이라고 부른다.

$$x^2{y}^{″}+ax{y}^{\prime }+by=0,a,b:상수$$

$$기법:y=x^m$$

$$\Rightarrow y^{\prime }=m{x}^{m-1},y^{″}=m(m-1)x^{m-2}$$

방정식에 대입하면,

$$m(m-1)x^{m-2}{x}^2+am{x}^{m-1}x+b{x}^m=0$$

$$\Rightarrow m(m-1{)}^2{x}^m+am{x}^m+b{x}^m=0$$

$$x^m\ne 0$$

$$\Rightarrow m(m-1)+am+b=m^2+(a-1)m+b=0$$

다음과 같은 방정식을 얻어낼 수 있다.

그리고 이 방정식의 해가 $m_1,m_2$라면, $y_1=x^{m_1},y_2=x^{m_2}$이다.

이차방정식이므로 당연히, 세가지 경우로 나눌 수 있다.

두 실근, 중근, 두 허근.

 

① 두 실근($m=m_1,m_2$)

중첩의 원리에 의해 일반해는

$$y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$$

 

②중근( $m_1=m_2=\frac{1-a}{2}$ )

중근이므로 앞선 상수계수 미분방정식과 유사하게,

계수 감소법(Reduction of order)을 이용하여 $y_2$을 구한다.

참고:

https://physical-world.tistory.com/17

Linearly independent, Reduction of order(선형 독립, 계수 감소법)Ch2.1

$$y_1=x^{\frac{1-a}{2}},y_2=u{y}_1$$

오일러 코시방정식의 꼴을 바꿔보면

$$y^{″}+\frac{a}{x}{y}^{\prime }+\frac{b}{x^2}y=0$$

계수감소법에 의해, 

$$y_2=y_1\int \frac{1}{y_1^2}{e}^{-\int pdx}dx$$

$$u=\int \frac{1}{x^{(\frac{1-a}{2})2}}{e}^{-\int \frac{a}{x}dx}dx=\int \frac{e^{-alnx}}{x^{1-a}}dx=lnx$$

일반해는

$$y=(c_1+c_{2}lnx)x^{\frac{1-a}{2}}$$

여기서 $m=\frac{1-a}{2}$는 암기하려면 어려울 수 있으니, m에 대한 이차방정식에서 중근을 직접구하면 된다.

 

③두 허근($m=\frac{1-a}{2}\pm wi$)

m에 대한 이차방정식에서 두 허근을 근의공식으로 구하면 위와 같다.

일반해는

$$y=c_1{x}^{\frac{1-a}{2}+wi}+c_2{x}^{\frac{1-a}{2}-wi}$$

위 일반해는 엄밀히 복소수 일반해이다.

 

여기서 선형결합으로 해를 조작해주면,

$$y_1,y_2=x^{\frac{1-a}{2}}{x}^{\pm wi}=x^{\frac{1-a}{2}}{e}^{\pm wilnx}$$

$e^{iwlnx}=cos(wlnx)+isin(wlnx)$이므로

$$\frac{y_1+y_2}{2}=x^{\frac{1-a}{2}}cos(wlnx)$$

$$\frac{y_1+y_2}{2i}=x^{\frac{1-a}{2}}sin(wlnx)$$

이 두 식이 또한 독립이 되므로

실수 일반해는

$$y=x^{\frac{1-a}{2}}[c_{1}cos(wlnx)+c_{2}sin(wlnx)]$$

이다.

 

2계 상수 미분방정식처럼,

복소수가 유용한지, 실수가 유용한지는 초기조건 또는 미분방정식마다 다르므로 적절히 선택해야한다.

참고: 2계 상수 미방

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Homogeneous Linear ODE with constant coefficients(상수 계수 제차 2계 미방) Ch2.2

 

※ $x^2{y}^{″}+ax{y}^{\prime }+by=0$ 꼴을 기억하는 법: 두 번 미분엔 두 번 $x$곱, 한 번 미분엔 한 번 $x$곱, 미분안한 항엔 상수만 있는 꼴이다. 이런 꼴이므로 $x^m$기법을 사용할 수 있는 것이다.

 

※ 양자역학 2D free space(V=0)에서 Near field($r\to 0$)일 때, 본 공식을 사용한다.

$$r\equiv l\xi$$

$$[\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}+\frac{\partial }{\xi \partial \xi }-\frac{m^2}{{\xi }^2}-{\xi }^2+2ϵ]\psi (\xi )=0$$

에서 

$\xi \to 0$ 일 때, 근사하기를

$${\psi }^{″}+\frac{{\psi }^{\prime }}{\xi }-\frac{m^2}{{\xi }^2}\psi =0forNearField$$

$$\Rightarrow \psi (\xi )\sim {\xi }^{|m|}$$

 

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physical-world.tistory.com/22

Existence and Uniqueness of solutions, Wronskian Ch2.6